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Mécanique statistique et équipartition de l'énergie

Dossier - Du corps noir aux trous noirs
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Corps noir et trous noirs, étonnamment, la relation entre les deux est aussi proche que le suggère leurs dénominations, et ce, d'une façon qu'aucun de ceux qui ont forgé ces dénominations ne pouvait le prévoir. Mais que recouvre donc ce mot énigmatique, le corps noir, et pourquoi occupe-t-il une position centrale dans la physique du siècle dernier et dans celle en train de naître de nos jours ? Tenter d'y répondre est l'objet de ce dossier.

  
DossiersDu corps noir aux trous noirs
 

La théorie de Maxwell enseigne que de la lumière est émise lorsque des charges sont accélérées, c'est le cas par exemple avec un électron effectuant un mouvement d'oscillation autour de sa position d'équilibre. Il se met à perdre son énergie au profit de celle du champ électromagnétique. En première approximation, un corps solide chauffé peut donc être considéré comme une collection d'électrons effectuant des mouvements oscillants autour d'un centre fixe dans le solide.

Le champ électromagnétique lui-même est défini par le fait qu'il exercera une force sur un électron test placé au bout d'un ressort en un point de l'espace. Le système {corps matériel + champ électromagnétique} peut donc alors se représenter comme un ensemble d'oscillateurs harmoniques couplés.

On est donc en présence d'un système mécanique.

Or, les lois de la thermodynamique à la fin du XIX ième siècle étaient en train d'être réduites aux lois de la mécanique à l'aide d'hypothèses issues du calcul des probabilités. La théorie cinétique des gaz de Clausius, Maxwell et Boltzmann interprétait la chaleur comme une forme d'énergie mécanique, associée à l'agitation des molécules d'un gaz, et la température, à la mesure de cette agitation moléculaire.

En utilisant les principes de ce qu'on appelle la mécanique statistique, le mouvement d'un système mécanique avec un grand nombre de degrés de liberté, convenablement reformulé dans ce que l'on désigne par l'espace des phases d'un système mécanique, devenait alors similaire à celui des molécules dans un gaz.

De même que Maxwell avait introduit une distribution de probabilités donnant à l'équilibre thermodynamique la probabilité de trouver des particules du gaz ayant en moyenne une certaine énergie cinétique, de même, lorsqu'on considérait un système physique pouvant posséder une certaine énergie Ei, où i désigne aussi bien une série discrète que continue d'états d'énergie pour ce système, on pouvait définir une distribution de probabilités Pi telle que:

 

 

avec

 

 

où T est la température thermodynamique et

 

est une constante définie par la condition évidente que la somme des probabilités soit égale à 1.

L'inverse de cette constante se note aussi Z et on l'appelle la fonction de partition, ou encore la somme des états, en mécanique statistique.

La distribution de probabilités elle-même est connue sous le nom de distribution de Maxwell-Boltzmann, plus précisément et plus généralement aussi sous le nom de distribution de Gibbs en mécanique statistique classique.

Les notions de chaleur, température, entropie, qui sont fondamentales et universelles en thermodynamique classique, trouvaient de cette façon une interprétation et la raison de leur universalité.

Cela supposait toutefois de croire au caractère atomique de la matière dans une large part, mais cela impliquait alors que l'Univers était constitué de deux entités hétérogènes.

- la matière elle-même, que l'on pouvait décrire par un système discret de coordonnées de positions et de vitesses généralisées de la mécanique analytique 

- le champ électromagnétique, qui, bien que pouvant se décrire sous la forme d'un système mécanique à partir d'un lagrangien nécessitait quand même un nombre infini de degrés de liberté en raison de son caractère continu. La racine du problème que vont rencontrer les physiciens est précisément ici comme on va le voir.

Un théorème fondamental de la mécanique statistique, et qui sera au coeur de l'énigme soulevée par la théorie du corps noir, est celui de l'équipartition de l'énergie pour un système thermodynamique à l'équilibre.

Voyons voir son contenu dans les grandes lignes.

Soit

 

 

un hamiltonien avec coordonnées de positions et d'impulsions généralisées qn et pn décrivant, par exemple, l'énergie totale E d'un gaz de molécules ou une collection d'oscillateurs à une température T.

En général, H fait intervenir une somme de termes de la forme

 

et

 

Ce qui donne

Le théorème indique alors, qu'en moyenne, chacun de ces termes vaut  est la constante de Boltzmann.

Les considérations précédentes ne sont qu'un survol en haute altitude, et ne prétendant pas à la rigueur, des idées et formules de la mécanique statistique. Il ne s'agit que de donner quelques éléments pour comprendre les problèmes auxquels ont été confrontés les physiciens classiques. Le lecteur voulant vraiment avoir une compréhension solide et rigoureuse de la mécanique statistique devra se reporter à la référence suivante par exemple :

Cours de thermodynamique statistique de Claire Lhuillier, Eric Brunet et Redha Mazighi du laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée : Université Pierre et Marie Curie

où les formules exactes et les conditions rigoureuses de leur dérivation et applications sont exposées. La partie traitant du corps noir en cosmologie comporte aussi des liens intéressant et solides sur ces sujets.