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Hamiltonien

DéfinitionClassé sous :physique , Hamiltonien , fonction de Hamilton

La notion d'hamiltonien, ou encore de fonction de Hamilton provient d'une formulation très puissante des équations de la mécanique analytique, les équations de Hamilton. Ces dernières sont fondamentales de par leur rôle général en physique et sont à la base de la découverte et de la formulation de la mécanique quantique.

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865).

Initialement limitées à des systèmes mécaniques comportant un nombre fini de degrés de libertés, comme les positions et les vitesses des particules dans un gaz, ou les angles et vitesses de rotations permettant de décrire un gyroscope, ces équations peuvent être étendues pour décrire des systèmes continus à une infinité de degrés de libertés. C'est le cas des équations du champ électromagnétique ou du champ de gravitation qui peuvent être mises sous une forme dite Hamiltonienne.

Un exemple simple pour comprendre la signification de ces équations suffira.

Considérons un ensemble de N particules dans un gaz possédant donc 3N coordonnées de position  et 3N coordonnées de vitesse   où le point désigne la dérivation totale de la coordonnée précédente par rapport au temps, c'est à dire  .

On sait que, dans la formulation de Lagrange des équations de la mécanique d'un système de particules, les équations différentielles du mouvement de ces particules seront données par :

où la fonction dite de Lagrange pour ces particules dans un potentiel V s'écrit

Les masses  étant évidemment les mêmes pour une particule et ses trois coordonnées de positions. Le premier terme à droite dans l'équation représente une somme d'énergies cinétiques.

Joseph Louis Lagrange (25 janvier 1736, Turin - 10 avril 1813, Paris)

La formulation Lagrangienne est invariante par changement de systèmes de coordonnées  et c'est ce qui fait sa puissance, car elle permet de ramener de larges classes d'équations différentielles exprimées en coordonnées cartésiennes, sphériques etc... à quelques cas fondamentaux que l'on sait résoudre.

En outre, elle permet de démontrer que des théorèmes de conservation comme ceux de l'énergie, de la quantité de mouvement etc... sont automatiquement valables pour ces larges classes d'équations différentielles puisque, en démontrant des lois de conservation dans un système de coordonnées donné, on est sûr qu'elles seront valables dans d'autres systèmes de coordonnées ou pour d'autres systèmes mécaniques qui se ramènent à des équations sous la forme de Lagrange.

La validité de lois de conservation comme celles de l'énergie ou de la quantité de mouvement, initialement établie pour des points matériels, sera alors tout aussi assurée pour le champ électromagnétique si l'on peut mettre les équations de Maxwell sous la forme d'un Lagrangien. C'est bien le cas.

La situation est d'ailleurs très profonde et a des répercussions en mécanique quantique et en théorie quantique des champs par l'intermédiaire du théorème de Noether reliant l'invariance du Lagrangien par certaines transformations de symétries et l'établissement de lois de conservation.

Ainsi, si l'on écrit une équation différentielle avec des variables n'ayant pas de rapports directs avec les positions d'un système de particule, mais dérivant d'un Lagrangien pouvant avoir la forme de celui d'un système de particules invariant par translation dans le temps, alors on pourra définir une fonction   qui correspondra à une énergie et satisfera à une loi de conservation.

La formulation de Lagrange peut être étendue de la façon suivante. On introduit une autre variable   définie par  . On peut alors construire une fonction dite hamiltonienne , déduite du Lagrangien précédent par la transformation de Legendre :

Le système d'équations différentielles du second ordre de Lagrange peut alors s'écrire sous la forme d'un système d'équations différentielles du premier ordre:

           
           

Ce sont les équations de Hamilton et elles seront capitales entre les mains de Heisenberg, Born, Jordan et Dirac pour la découverte et la formulation de la mécanique matricielle et son extension finale, la mécanique quantique. En effet, ces derniers découvriront que le passage de la mécanique classique à la mécanique quantique se fait en remplaçant les quantités précédentes par des matrices.

Evidemment, la fonction de Hamilton  exprime bien là encore l'énergie totale du système mécanique considéré.

Il y a plusieurs conséquences importantes qui découlent de ces équations que l'on trouve aussi à la base de la formulation de la mécanique statistique de Gibbs, Boltzmann et Einstein.

Ces équations ramènent par exemple le mouvement de N points matériels (particules d'un gaz, étoiles dans une galaxie etc...) à celui d'un unique point abstrait dans un espace à 6N dimensions que l'on appelle l'espace des phases d'un système mécanique Hamiltonien. Les coordonnées de ce point étant définies par 3N paires de coordonnées appelées coordonnées conjuguées  et  .

Ces mêmes équations sont invariantes par une plus large classe de changement de coordonnées dites transformations canoniques des variables conjuguées précédentes. Elles s'écrivent :

 

Ceci donne lieu à une puissante technique d'intégration des équations de mouvement d'un système mécanique, comme cela a été initialement démontré en mécanique céleste. C'est d'ailleurs pourquoi Bohr, et surtout Sommerfeld, l'utiliseront pour étudier et construire des modèles atomiques avec des orbites d'électrons autour du noyau d'un atome.

Il existe une équation forte importante en mécanique Hamiltonienne car elle relie les formalismes de Hamilton et de Lagrange.

C'est l'équation de Hamilton-Jacobi.

Carl Gustav Jacobi (1804 - 1851)

Les équations de Lagrange sont dérivables à partir de la condition que la fonction

soit un extremum pour toutes les variations (en un sens précis) des coordonnées de positions et de vitesses d'un système mécanique possédant un Lagrangien, entre deux dates séparant des états de mouvement du système mécanique considéré.

Cette fonction est appelée l'action, elle permet d'écrire les équations suivantes :

 
 

La première est précisément l'équation de Hamilton-Jacobi et elle est reliée à l'intégration des équations de Hamilton précédentes.

C'est cette équation qui permettra à Schrödinger de développer sa mécanique ondulatoire.

La fonction de Hamilton deviendra alors un opérateur linéaire hermitien agissant sur un espace de fonctions, l'espace de Hilbert de la mécanique quantique. L'opérateur dit hamiltonien sera obtenue à partir de l'expression donnant l'énergie totale d'un système physique, comme celui de l'atome d'hydrogène, d'un champ électromagnétique dans une boîte ou encore même, comme c'est le cas en gravitation quantique à boucles, pour l'Univers et son champ de gravitation couplé à la matière.

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