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Matière : l'infini, l'extensif et le continu

Dossier - L'infini : mystères et limites de l'univers
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Ce qui est directement connaissable est fini. L'idée d'infini surgit pourtant dès que nous pensons. Mais l'infini peut-il se rencontrer dans la nature, et dans la physique qui cherche à la représenter ? Est-il présent dans l'univers ?

  
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Comme l'a énoncé Galilée, la physique s'écrit dans le langage des mathématiques. De ce fait, les infinis qui s'introduisent en mathématiques doivent aussi intervenir en physique. La question concerne toute grandeur extensive : l'espace et le temps d'une part, les collections de nombres d'autre part, la matière enfin.

« Toutes les choses étaient ensemble, infinies tant en multitude qu'en petitesse ; car la petitesse aussi était infinie. » Anaxagore.

Matière : le continu, l'extensif et l'infini. Ici, Galilée. © Daniele Pugliesi, Wikimedia Commons, DP

L'infiniment petit et l'infiniment grand

Par la simple opération d'inversion, les mathématiques font correspondre des petits nombres aux grands nombres. Si A devient très grand, à la limite infini, 1/A devient très petit, à la limite zéro. Cela établit une correspondance entre le zéro et l'infini. Ainsi, selon la physique d'Aristote, l'infiniment petit est symétrique de l'infiniment grand : il s'agit d'un infini par division, c'est-à-dire un inépuisable qui se manifeste lorsqu'on coupe indéfiniment les grandeurs.

Le développement des mathématiques a abouti, au début de notre siècle, à une notion d'infini bien maîtrisée. Ce fut pourtant au prix d'un arsenal conceptuel relativement complexe, et l'on constate que le concept d'infini qui en résulte (par exemple les transfinis) ne s'inverse pas aussi facilement que l'on inverse un nombre. Ainsi, la nature et l'histoire des infiniment petits sont radicalement différentes de celles des infiniment grands. C'est vrai en mathématiques, c'est encore plus évident en physique, car l'infiniment grand et l'infiniment petit concernent, en principe, des branches totalement disjointes : astrophysique et cosmologie d'un côté, physique des particules de l'autre.

Une bible du XIIIe siècle. L'extension du monde relève-t-elle de l'infiniment grand ? L'organisation de la matière relève-t-elle de l'infiniment petit ? L'illustration suggère que Dieu connaît les réponses à ces questions fondamentales. Lentement, la physique s'achemine vers elles. © Bibliothèque nationale de Vienne, Autriche

Mesurer l'extension de la matière

Le problème de l'infiniment petit dérive du fait qu'une grandeur finie (la longueur d'un segment, une durée, une quantité de matière) peut être, au moins par la pensée, divisée en une infinité de sous-éléments. Pour repérer les changements ou les mouvements d'un système, il convient de mener l'analyse la plus fine possible, de considérer des intervalles spatiaux ou temporels et des quantités de matière les plus infimes, à la limite infiniment petits.

C'est ainsi que cinématique et dynamique conduisent à envisager des quantités de temps ou d'espace infiniment petites. De même, à propos de la matière et des grandeurs qui en mesurent l'extension (telles que la masse, le volume, etc.), l'infiniment petit se révèle incontournable.

L'expérience du continu

Dans tous ces cas (l'espace, le temps, la masse), la divisibilité à l'infini est reliée au caractère continu des choses. L'expérience du continu est enracinée au plus profond de notre manière d'appréhender le monde : le continu constitue l'indice intuitif de la solidité des choses, de la consistance et de la permanence du monde qui nous environne.

Le bloc de pierre se tient là, intègre et ferme, identique à lui-même. La surface immobile d'une mer tranquille offre sa continuité au regard. Et tout cela demeure, rebelle à toute cassure.