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Les nombres sont-ils infinis ?

Dossier - L'infini : mystères et limites de l'univers
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Ce qui est directement connaissable est fini. L'idée d'infini surgit pourtant dès que nous pensons. Mais l'infini peut-il se rencontrer dans la nature, et dans la physique qui cherche à la représenter ? Est-il présent dans l'univers ?

  
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En mathématiques, l'infini se présente sous plusieurs formes. Les nombres sont-ils infinis ? Pour le savoir, découvrons la notion de nombres irrationnels (notamment les nombres transcendants) et celle de suites.

« Plus qu'aucune autre question, celle de l'infini a depuis toujours tourmenté la sensibilité des Hommes ; plus qu'aucune autre idée, celle de l'infini a stimulé et fécondé leur raison ; mais plus qu'aucun autre concept, celui de l'infini demande à être élucidé. » David Hilbert.

Les nombres sont-ils infinis ? © Geralt, Pixabay, DP

Ne pouvant concevoir de fin au processus d'énumération des nombres entiers (voir page 2 de ce dossier), nous sommes tentés de les déclarer en nombre infini. Leur suite apparaît infinie mais il s'agit d'un infini potentiel. Pouvons-nous être plus précis ? Pouvons-nous parler du nombre de tous les entiers, et le manipuler ? Saint Augustin accordait cette faculté à Dieu et à Lui seul : « L'intelligence divine est capable d'embrasser toute infinité et de dénombrer les êtres innombrables sans énumération mentale ». Après lui, un long processus aboutira à une « actualisation » de cet infini potentiel : la théorie des ensembles et les travaux de Cantor au XIXe siècle permettront de définir l'infini, ou plutôt les infinis « cardinaux ».

Une autre question similaire, mais légèrement différente, se pose. Alors qu'il semble toujours possible de construire un nombre entier plus grand que n'importe quel autre nombre, on voudrait pouvoir parler du « plus grand de tous les nombres entiers ». Si l'expression a un sens, elle ne peut caractériser qu'un nombre infini. Un tel infini serait qualifié « d'ordinal », par opposition au cardinal.

Si une longue histoire a mené les mathématiques vers les grands infinis ordinaux et cardinaux, l'infini se présente en mathématiques sous d'autres modalités. Auparavant, il est important de reconnaître que la manipulation de certains nombres finis exige de faire appel à une certaine notion d'infini. C'est par exemple le cas des nombres irrationnels, c'est-à-dire les nombres qui ne sont pas des fractions.

Les irrationnels

Au VIe siècle avant notre ère, les mathématiciens grecs, influencés par Pythagore, pensaient qu'à toute grandeur physique ou géométrique il était possible d'associer soit un nombre entier, soit un rapport de nombres entiers, appelé « nombre rationnel ». Très rapidement, ils se sont aperçus qu'ils avaient besoin d'utiliser d'autres nombres que les rationnels. Par exemple, on peut élever un nombre au carré en le multipliant par lui-même. L'opération inverse consiste à prendre la racine carrée. Or, aucun rationnel n'est la racine carrée de 2 ; pourtant la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1 doit bien avoir cette valeur, que l'on note √2. De même, si l'on calcule exactement le périmètre d'un champ carré de superficie 2 km2, par exemple pour acheter une clôture, on trouve 4√2 km. Ce nombre est également irrationnel. La longueur √5 mètres de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés mesurent 1 mètre et 2 mètres est un irrationnel. Le nombre d'or (1 + √5) / 2 qui, traditionnellement, définit les canons de la beauté, correspond au partage « idéal » d'une longueur en sa plus juste proportion ; celle-ci est définie de telle manière que le rapport de la plus petite à la plus grande partie soit égal au rapport de la plus grande au tout. C'est aussi un irrationnel. En fait, tout nombre irrationnel combiné avec un rationnel par les opérations d'addition, soustraction, multiplication et division est lui-même irrationnel.

La découverte des irrationnels a débouché sur la première crise de l'histoire des mathématiques. En effet, ils s'avèrent, dans la pratique, aussi indispensables que les entiers ou les rationnels. Pourtant, leur définition et leur écriture font appel à la notion d'infini : chacun d'eux ne peut être écrit qu'avec un nombre infini de décimales. En langage moderne, tout nombre peut s'écrire sous forme décimale. L'écriture d'un nombre irrationnel exige de spécifier la suite de toutes ses décimales. Or, cette suite se distingue précisément par son caractère infini : si elle était finie (ou infinie mais périodique), cela prouverait que l'on peut écrire le nombre en question sous forme du rapport de deux nombres entiers : ce serait un rationnel.

Cette spécificité ne tient pas au caractère décimal de l'écriture, mais traduit le fait que ces nombres sont vraiment conçus comme le résultat d'un processus infini. Supposons que l'on veuille simplement vérifier si deux nombres irrationnels sont égaux : cela exige de comparer toutes les décimales une à une, donc un nombre infini d'opérations. Tout calcul numérique à partir de nombres irrationnels implique une infinité d'opérations. Ils sont, d'une certaine manière, à la fois finis et infinis, selon le point de vue dont on les considère (d'une autre manière, un segment de droite est fini du point de vue de sa longueur, infini du point de vue de l'ensemble de ses points).

Bien que la définition des nombres irrationnels fasse appel à l'infini, nous manipulons aujourd'hui sans état d'âme particulier des nombres tels que √2 définis comme limite d'une suite infinie de nombres rationnels (ou, si l'on préfère, par un nombre infini de décimales). L'infini qui a servi à les construire est totalement occulté et ces nombres nous apparaissent comme parfaitement finis.

Les ensembles de nombres : de quelques décimales…

Les nombres les plus simples sont les nombres entiers positifs 1, 2, 3, etc., dont l'ensemble est noté par la lettre N. À partir d'eux, l'opération de soustraction (inverse de l'addition) permet de définir les entiers négatifs -1, -2, -3, etc.

D'une manière similaire, l'opération de division (inverse de la multiplication) conduit à définir les fractions, ou nombres rationnels, dont l'ensemble est noté par la lettre Q. Tout nombre rationnel (c'est-à-dire fractionnaire) peut s'écrire sous forme décimale. Mais, ou bien ces décimales sont en nombre fini (exemple 5 / 4 = 1,25), ou bien elles montrent une périodicité (exemple : 1 / 9 = 0,111111...).

Peut-on alors considérer un nombre ayant un nombre infini de décimales non périodiques ? La réponse est oui. Correspond-il à une fraction ? La réponse est non. Ce nombre est un irrationnel.

Les transcendants

Parmi les irrationnels, certains sont d'une nature encore plus compliquée que les autres : ce sont les nombres transcendants, qui ne sont racine d'aucune équation algébrique de type anxn + an-1xn-1  + ... + a1x + a0 = 0, où les an sont des entiers relatifs. C'est le cas du nombre π, qui exprime le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, ou de e ≈ 2,71828..., la base des logarithmes naturels.

Leibniz, appliquant son calcul infinitésimal à la résolution de problèmes physiques, trouva comme solution des courbes transcendantes (c'est-à-dire solutions d'équations non algébriques). Ces courbes ont, comme les nombres relevant du même qualificatif, un caractère infini, ce qui fait dire à Leibniz que « l'origine des grandeurs transcendantes, c'est l'infini ». Le fait qu'elles apparaissent comme solutions de certains calculs physiques justifie selon lui leur étude, ainsi que celle de l'infini : « La nature fait entrer l'infini dans tout ce qu'elle fait ». Et, en effet, l'infini se trouve partout dans les mathématiques. On ne peut en rejeter l'usage sans renoncer à utiliser le nombre π et les autres irrationnels : il y a quelque chose d'infini dans un cercle, dans le moindre segment de droite, dans chaque nombre irrationnel.

Suites, séries et convergence

La notion de suite, essentielle aux mathématiques et à la physique, implique l'infini. Une suite est définie par un processus qui permet, à partir d'un élément, de définir le suivant. Si le prototype est la suite des nombres entiers, on peut définir aussi la suite des nombres pairs, celle des nombres premiers, celle des carrés, etc. Le processus n'ayant jamais de fin, la suite est qualifiée d'infinie. Une des limitations dues au caractère infini d'une suite est l'impossibilité de répondre à toutes les questions concernant tous ses éléments. Peut-on alors considérer une suite infinie comme un objet achevé ? C'est certainement le cas de certaines au moins. Par exemple, chaque nombre irrationnel peut être défini comme une suite de nombres rationnels d'un certain type (appelée « suite de Cauchy »). Que l'on manipule les irrationnels comme d'autres nombres montre que l'on peut manipuler au moins certaines suites infinies.

Mathématiciens et physiciens ont souvent à effectuer la somme infinie de tous les termes d'une suite. On parle alors de « séries ». Alors que le nombre de termes est infini, le résultat peut être fini : la série, alors qualifiée de « convergente », manifeste une union du fini et de l'infini.