La beauté des nombres. © Fotoblend, Pixabay, DP

Sciences

Jeu mathématique : le mystère étonnant des nombres

Question/RéponseClassé sous :Mathématiques , nombres , nombres carrés

Les nombres cachent des mystères étonnants... Nous allons le découvrir ci-dessous.

Les nombres cachent des mystères étonnants, ainsi le produit des quatre premiers nombres entiers augmenté de 1 est un carré puisque 1.2.3.4 + 1 = 25 = 52. Hasard, direz-vous ? On trouve le même résultat avec les quatre nombres suivants 2.3.4.5 + 1 = 121 = 112.

Encore un hasard ou le résultat est-il général ?

Le monde fascinant des nombres. © Geralt, Pixabay, DP

Réponse

Force est de constater que 3.4.5.6 + 1 = 361 = 192 mais cela ne suffit pas pour prouver que le résultat est général. Pour cela, on doit considérer un nombre entier x quelconque, les quatre nombres consécutifs x - 1, x, x+ 1 et x+ 2 et le nombre A = (x - 1).x.(x+ 1).(x+ 2) + 1.

Il s'agit de montrer que A est le carré d'un entier. Ce nombre A se développe en un polynôme de degré quatre de x, soit x4 + 2 x3 - x2 - 2 x + 1. Ce problème qu'on pensait un problème d'arithmétique se révèle un problème d'algèbre ! Il s'agit de prouver que A est le carré d'un polynôme de degré deux. Les deux premiers termes x4 + 2 x3 montrent que ce polynôme de degré deux doit commencer par x+ x. Il suffit alors de calculer le carré de x2 + x - 1 pour conclure :

(x - 1).x.(x+ 1).(x+ 2) + 1= (x2 + x - 1) 2.

                                                                                                                          

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En savoir plus sur Hervé Lehning

Normalien et agrégé de mathématiques, Hervé Lehning a enseigné sa discipline une bonne quarantaine d'années. Fou de cryptographie, membre de l'Association des réservistes du chiffre et de la sécurité de l'information, il a en particulier percé les secrets de la boîte à chiffrer d'Henri II. 

À découvrir également : L'univers des codes secrets de l'Antiquité à Internet, paru en 2012 chez Ixelles.