Roméo et Juliette. © The Bridgeman Art Library, Wikimedia commons, DP

Sciences

Jeu mathématique : « Je sais que tu sais que je sais… »

Question/RéponseClassé sous :Sciences , Mathématiques , énigme

Dans Romanoff et Juliette, un film des années 1960, satire de la guerre froide, le président d’un petit pays apprend un secret militaire soviétique.

Ce président d'un petit pays se rend à l’ambassade américaine pour en informer les Américains dans l’espoir d’en tirer profit.

  • Mais, blasés, les Américains lui répondent : nous savons.
  • Pensant intéresser les Russes, il se rend à l’ambassade soviétique pour leur dire : ils savent...
  • Les Soviétiques : nous savons qu’ils savent !
  • Le président retourne voir les Américains : ils savent que vous savez.
  • Les Américains : nous savons qu’ils savent que nous savons.
  • Le président retourne voir les Russes pour les informer : ils savent que vous savez qu’ils savent.
  • Les Soviétiques : nous savons qu’ils savent que nous savons qu’ils savent.
  • Le président retourne voir les Américains : ils savent que vous savez qu’ils savent que vous savez.
  • Heureux, les Américains remercient. Le président s’étonne : vous ne saviez pas ?
  • Non, les Américains ne savaient pas…

Certains problèmes de logique exploitent des informations de ce type, ce qui donne des énigmes diaboliques.

L’âge des filles

Voici une petite conversation entre mathématiciens :

Albane : le produit des âges de mes trois filles est égal à 36, leur somme est le numéro de ma maison.

Maxime : je ne peux pas en déduire l’âge de tes filles !

Albane : l’aînée aime le chocolat.

Maxime : maintenant, je connais l’âge de tes filles.

Question : quels sont les âges des filles d’Albane ?

Réponse : 9, 2 et 2. On écrit toutes les factorisations de 36 et les sommes correspondantes.

âge 1

1

1

1

1

1

2

2

3

âge 2

1

2

3

4

6

2

3

3

âge 3

36

18

12

9

6

9

6

4

somme

38

21

16

14

13

13

11

10

Comme Maxime doit connaître le numéro de la maison d’Albane, s’il ne peut pas en déduire les âges des filles, c’est que ce numéro est égal à 13, seul cas où une confusion est possible. Le fait qu’il y ait une aînée (et peu importe qu’elle aime le chocolat) permet de dire que les âges sont 9, 2 et 2 car, dans l’autre cas, il y aurait deux aînées.

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En savoir plus sur Hervé Lehning

Normalien et agrégé de mathématiques, Hervé Lehning a enseigné sa discipline une bonne quarantaine d'années. Fou de cryptographie, membre de l'Association des réservistes du chiffre et de la sécurité de l'information, il a en particulier percé les secrets de la boîte à chiffrer d'Henri II. 

À découvrir également : L'univers des codes secrets de l'Antiquité à Internet, paru en 2012 chez Ixelles.