Jeu mathématique : « Je sais que tu sais que je sais… »

Ce président d'un petit pays se rend à l’ambassade américaine pour en informer les Américains dans l’espoir d’en tirer profit.

• Mais, blasés, les Américains lui répondent : nous savons.
• Pensant intéresser les Russes, il se rend à l’ambassade soviétique pour leur dire : ils savent...
• Les Soviétiques : nous savons qu’ils savent !
• Le président retourne voir les Américains : ils savent que vous savez.
• Les Américains : nous savons qu’ils savent que nous savons.
• Le président retourne voir les Russes pour les informer : ils savent que vous savez qu’ils savent.
• Les Soviétiques : nous savons qu’ils savent que nous savons qu’ils savent.
• Le président retourne voir les Américains : ils savent que vous savez qu’ils savent que vous savez.
• Heureux, les Américains remercient. Le président s’étonne : vous ne saviez pas ?
• Non, les Américains ne savaient pas…

Certains problèmes de logique exploitent des informations de ce type, ce qui donne des énigmes diaboliques.

L’âge des filles

Voici une petite conversation entre mathématiciens :

Albane : le produit des âges de mes trois filles est égal à 36, leur somme est le numéro de ma maison.

Maxime : je ne peux pas en déduire l’âge de tes filles !

Albane : l’aînée aime le chocolat.

Maxime : maintenant, je connais l’âge de tes filles.

Question : quels sont les âges des filles d’Albane ?

Réponse : 9, 2 et 2. On écrit toutes les factorisations de 36 et les sommes correspondantes.

Comme Maxime doit connaître le numéro de la maison d’Albane, s’il ne peut pas en déduire les âges des filles, c’est que ce numéro est égal à 13, seul cas où une confusion est possible. Le fait qu’il y ait une aînée (et peu importe qu’elle aime le chocolat) permet de dire que les âges sont 9, 2 et 2 car, dans l’autre cas, il y aurait deux aînées.