Zèbres dans une région sauvage du Botswana. © Hervé Lehning, DR

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Pourquoi associer des zèbres à une énigme mathématique sur une carte de vœux ?

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Souhaiter une bonne année 2018 en vous laissant effectuer le calcul 1 x 2.345 - 6 x 7 x 8 + 9 est pour le moins étrange, quoique exact puisque 6 x 7 x 8 = 336 et 2.345 - 336 + 9 = 2.018. D'où vient ce type d'énigme mathématique et pourquoi l'associer aux zèbres ?

Donnons-nous un nombre, 100 par exemple. Est-il possible de l'écrire en écrivant les chiffres de 1 à 9 dans l'ordre en insérant ou non des opérations ? Pour 100, il existe un grand nombre de solutions, par exemple 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9.

On peut reprendre la question avec une contrainte supplémentaire, que le cinéaste Takeshi Kitano mit en avant dans l'exposition Mathématiques, un dépaysement soudain à la fondation Cartier en 2011 : écrire le nombre de la façon la plus courte en utilisant les premiers chiffres. On trouva la formule 2.011 = (1 + 2)!! +(3!)4 - 5 ... qui, pour le moins, demande quelques explications. Un nombre tel que 3! se lit factorielle 3 et représente le produit des nombres de 1 à 3 soit 1 x 2 x 3 = 6. De même, 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24. Dans notre cas, (1 + 2)!! = 3!! = 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720. D'autre part, (3!)4 = 64 = 1.296 et 720 + 1.296 - 5 = 2.011. Le résultat est bien exact.

Pour revenir à 2018 avec la contrainte de Kitano, nous trouvons mieux que le résultat sur la carte en utilisant seulement les six premiers chiffres 1 x 2 - 3!! + 4! x (5! - 6). Est-ce l'optimum ? La question est ouverte.

Les zèbres aussi sont mystérieux

Quel rapport avec les zèbres ? Le côté étrange bien sûr. Depuis quelques années, le terme est d'ailleurs utilisé pour désigner les enfants surdoués ou à haut potentiel... qui s'intéresseront à ces étranges formules. J'ai pris la photo des deux zèbres sur ma carte dans une région sauvage au Botswana où on les voit dans une disposition typique qui leur permet de guetter les prédateurs (lions et hyènes). Comme nos empreintes digitales, leurs rayures caractérisent chaque individu. La genèse de leurs pelages, comme ceux des girafes ou des tigres, a fait l'objet d'une étude d'Alan Turing qui a trouvé un algorithme permettant de les expliquer.

En savoir plus sur Hervé Lehning

Normalien et agrégé de mathématiques, Hervé Lehning a enseigné sa discipline une bonne quarantaine d'années. Fou de cryptographie, membre de l'Association des réservistes du chiffre et de la sécurité de l'information, il a en particulier percé les secrets de la boîte à chiffrer d'Henri II. 

Le dernier livre d'Hervé Lehning :

À découvrir également : L'univers des codes secrets de l'Antiquité à Internet, paru en 2012 chez Ixelles.