Qu’est-ce qui est le plus difficile : montrer que quelque chose est possible ou montrer que c’est impossible ?

Le professeur Phi demande à ses élèves Alpha et BêtaBêta :

-- Prenez un nombre de quatre chiffres, retournez-le et ajoutez ces deux nombres puis donnez-moi vos résultats.

Alpha donne 7.106 et Bêta, 3.213. Le professeur Phi réfléchit un instant et dit :

-- L'un de vous deux s'est trompé.

Lequel ?

Réponse :

Bêta s'est trompé dans son calcul. Pour le voir, examinons le résultat qu'on obtient en partant du nombre abcd, soit 1.000 a + 100 b + 10 c + d. En lui ajoutant dcba, tous calculs faits, on obtient le résultat R = 1.001 (a + d) + 110 (b + c). Pour que ce nombre soit égal à 3.213, il est nécessaire que le chiffre des unités de a + d soit 3 donc que a + d soit égal à 3 car 13 impliquerait R > 13.000 ce qui rendrait l'égalité R = 3.213 impossible. On obtient 110 (b + c) = 210 ce qui implique que 11 divise 21 ... ce qui est faux. Bêta s'est donc trompé dans ses calculs.

Pour Alpha, il est possible que ses calculs soient corrects. Par exemple, il a pu partir du nombre 2.734 mais ce n'est pas la seule possibilité. Montrer une impossibilité est souvent plus difficile que montrer une possibilité.

Une autre méthode 

La méthode utilisée par Phi est générale mais, dans ce cas précis, Phi aurait pu également remarquer que 110 et 1001 étant tous les deux divisibles par 11, R doit l'être également or 3213 ne l'est pas...