Une histoire ancienne, mais qui prend son véritable essor au XIXe siècle

Pour comprendre en quoi consistent la correspondance de Langlands et les travaux qu'elle a suscités -- et ceux de L. Lafforgue en font partie -- il faudrait des connaissances préalables qui dépassent de beaucoup celles que peut posséder un non-mathématicienmathématicien. Essayons cependant de donner un parfum de l'histoire de ces développements et de leurs motivations.

© Geralt CCO, Domaine public 

Comme c'est souvent le cas en mathématiques, les débuts appartiennent à un passé lointain. Dès l'Antiquité, les mathématiciens se sont intéressés à la résolutionrésolution de problèmes qui, dans la terminologie d'aujourd'hui, sont appelées équations diophantiennes. Il s'agit tout simplement d'équations polynomiales, à coefficients entiers, dont on cherche les solutions parmi les nombres entiers. Par exemple, x^2 + 3y^3 = 7 est une équation diophantienne, et l'une de ses solutions entières est donnée par x = 2, y = 1. Un autre exemple d'équation diophantienne est celle intervenant dans le théorème de Fermat. Malgré leur apparence anodine, l'étude de telles équations est, en général, bien difficile.

Les attaques directes se sont révélées assez peu fructueuses. Depuis le début du XIXe siècle et sous l'impulsion du grand Carl Friedrich Gauss (1777-1855), les mathématiciens se sont mis à explorer des voies détournées. En particulier, il s'est avéré intéressant et utile de considérer non pas des égalités au sens ordinaire, mais des égalités définies à un multiple entier d'un nombre premier (3) près. Par exemple, étant donné un nombre premier p, existe-t-il un entier x tel que x^2 + 1 soit divisible par p, c'est-à-dire un entier x tel que x^2 + 1 soit égal à 0 à un multiple de p près ? Dans ce domaine, un résultat profond -- et fort utile pour les équations diophantiennes du second degré -- est la loi de réciprocité quadratique, que Gauss a été le premier à prouver correctement (étant donnés deux nombres premiers p et q, cette loi arithmétique relie par une formule simple deux propriétés : l'existence (ou la non-existence) d'un entier x tel que x^2 - p est divisible par q, et l'existence d'un entier y tel que y^2 - q est divisible par p).

Une bonne partie des développements ultérieurs de l'arithmétique et de l'algèbre sont issus de la recherche de lois de réciprocité analogues allant au-delà du cas quadratique, c'est-à-dire s'appliquant à des puissances d'entiers supérieures à 2. La route était semée d'obstacles. C'est notamment pour les surmonter que Gauss, puis d'autres, sont sortis du cadre trop strict des nombres ordinaires et ont essayé d'étendre les lois de l'arithmétique (4) des nombres entiers à des ensembles de nombres plus généraux ; par exemple les "entiers de Gauss" qui sont les nombres de la forme a + ib, où a et b sont des entiers ordinaires et i = v(-1), ou encore l'ensemble noté Q(sqrt(5)) des nombres de la forme x + y*sqrt(5) où x et y sont des nombres rationnelsnombres rationnels (quotients d'entiers).