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Peu à peu, le programme de Langlands s'accomplit

Dossier - De Langlands à Lafforgue
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En l'an 2000, le mathématicien Laurent Lafforgue achevait sa démonstration d'une conjecture rattachée à la "correspondance de Langlands". Cette expression désigne un tissu de conjectures, énoncées à la fin des années 1960, qui a inspiré une partie importante des recherches modernes en géométrie algébrique et en théorie des nombres. Pour ses résultats, fruits d'environ sept ans de travail, Laurent Lafforgue s'est vu décerner le 20 août 2002 la récompense la plus prestigieuse pour un mathématicien de moins de quarante ans : une médaille Fields.

  
DossiersDe Langlands à Lafforgue
 

Quelle est la contribution de Laurent Lafforgue à ce programme ? La correspondance de Langlands comporte en fait de nombreux cas et sous-cas distincts, selon la valeur de l'entier positif n et selon la nature du corps K. Le cas n = 1 correspond à un groupe de Galois commutatif et équivaut à la théorie des corps de classes ; il est donc réglé depuis plus d'une cinquantaine d'années.

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Pour les autres valeurs de n, correspondant à des groupes non commutatifs, plusieurs cas particuliers des conjectures de Langlands ont été démontrés au fil des ans. Des résultats plus généraux ont été obtenus dans la dernière décennie. En particulier, en 1993, Gérard Laumon (université Paris XI), Michael Rapoport (université de Cologne) et Ulrich Stuhler (université de Göttingen) prouvaient la correspondance de Langlands pour tout entier positif n, mais pour des corps K particuliers -- les "corps de séries formelles définies sur un corps fini". En 1998, Michael Harris (université Paris VII) et Richard Taylor (ce chercheur britannique de l'université de Harvard vient aussi d'obtenir une médaille Fields) démontraient la correspondance (pour tout n) pour les "corps p-adiques" ; quelques mois après, Guy Henniart (université Paris XI) fournissait du même énoncé une preuve plus rapide et plus élégante.

Deux ans plus tard, Laurent Lafforgue prouvait la correspondance de Langlands (pour tout n) pour les "corps de fonctions rationnelles sur une courbe définie sur un corps fini" (11). Sa démonstration occupe 240 pages de la revue professionnelle Inventiones mathematica, à quoi il faut ajouter les nombreux et volumineux travaux déjà publiés sur lesquels elle s'appuie. Pour aboutir à son résultat, L. Lafforgue a étendu la méthode du mathématicien ukrainien Vladimir Drinfeld (médaille Fields en 1990) qui, dans les années 1970, était parvenu à démontrer cette même partie du programme de Langlands, mais uniquement pour la valeur particulière n = 2.

Les travaux de Lafforgue apportent ainsi l'une des pièces maîtresses du vaste édifice imaginé par Langlands il y a plus de trente ans. Cet édifice -- d'une complexité, d'une technicité et d'une abstraction assez effroyables -- dresse de larges ponts entre la théorie des nombres (l'arithmétique des corps), l'algèbre (la théorie de Galois, la théorie des représentations des groupes) et l'analyse (les fonctions automorphes), pour ne citer que ces domaines. Il n'est pas achevé : paradoxalement, les conjectures de Langlands restent à prouver pour les corps de base les plus familiers, comme Q (les nombres rationnels), R (les nombres réels) ou C (les nombres complexes). Ce sont les cas de figure qui auront, a priori, le plus d'impact sur les problèmes d'apparence élémentaire, comme les équations diophantiennes. Mais jusqu'ici, les progrès dans cette direction ont été rares, hormis ce qui a été fait en liaison avec le théorème de Fermat. De nouvelles idées sont donc attendues. Par ailleurs, Drinfeld a imaginé une version un peu plus géométrique de la correspondance de Langlands, impliquant des courbes définies sur le corps des nombres complexes et non sur un corps fini. Ce programme tentaculaire n'a donc pas fini de faire parler de lui.