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Dossier - De Langlands à Lafforgue
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En l'an 2000, le mathématicien Laurent Lafforgue achevait sa démonstration d'une conjecture rattachée à la "correspondance de Langlands". Cette expression désigne un tissu de conjectures, énoncées à la fin des années 1960, qui a inspiré une partie importante des recherches modernes en géométrie algébrique et en théorie des nombres. Pour ses résultats, fruits d'environ sept ans de travail, Laurent Lafforgue s'est vu décerner le 20 août 2002 la récompense la plus prestigieuse pour un mathématicien de moins de quarante ans : une médaille Fields.

  
DossiersDe Langlands à Lafforgue
 

Sur le programme de Langlands et les thèmes qui s'y rattachent, il n'existe quasiment pas de documents accessibles à des non-spécialistes. Même quand ils existent, ils exigent généralement un minimum de connaissances mathématiques de niveau universitaire. Les propositions suivantes sont rangées dans l'ordre croissant de difficulté.

Fractales © PeteLinforth CC0, Domaine public

• C. Goldstein, "Le théorème de Fermat", La Recherche, mars 1994, pp. 268-275 ; "Autour du théorème de Fermat", Mnémosyne, 7, 1994, pp. 34-61.

• R. P. Langlands, "Representation theory -- its rise and its role in number theory", Proceedings of the Gibbs Symposium, American Mathematical Society, 1990 (article à télécharger).

• S. Gelbart, "An elementary introduction to the Langlands program", Bulletin of the American Mathematical Society, 10, 2, 1984, pp. 177-219.

• G. Laumon, "Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands", Gazette des mathématiciens n°88, avril 2001, pp. 11-33.

• L. Lafforgue, "Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands", Inventiones mathematicae, 147, 2002, pp. 1-241.

Notes

1

- Le théorème de Fermat affirme que pour tout entier n supérieur ou égal à 3, il n'existe pas d'entiers positifs x, y, z vérifiant l'équation x^n + y^n = z^n. Il a été démontré par le chercheur britannique Andrew Wiles en 1994, près de trois siècles et demi après avoir été énoncé.

2

- La démonstration de la conjecture complète de Shimura-Taniyama-Weil, en 1999, est due au Français Christophe Breuil et aux Américains Brian Conrad, Fred Diamond et Richard Taylor.

3

- Un nombre premier est un entier positif qui n'est divisible que par 1 et par lui-même, comme 5, 13 ou 17.

4

- Un exemple de loi arithmétique fondamentale est la décomposition unique d'un nombre en facteurs premiers : tout entier positif se décompose de façon unique (à l'ordre près) en un produit de nombres premiers (ainsi, par exemple, 3234 = 2 ´ 3 ´ 7 ´ 7 ´ 11).

5

- En revanche, l'ensemble Z des entiers n'est pas un corps (car l'inverse d'un entier autre que 1 ou -1 n'est pas un entier). Il existe aussi des corps dont les éléments ne sont pas des nombres : par exemple le corps des fonctions rationnelles définies sur un corps K, c'est-à-dire l'ensemble des expressions de la forme P/Q où P et Q sont des polynômes à coefficients appartenant à K. Enfin, si tous les exemples ci-dessus sont des corps ayant une infinité d'éléments, on définit également des corps finis, qui n'ont qu'un nombre fini d'éléments (l'exemple sans doute le plus simple, qui joue d'ailleurs un rôle central en informatique, est le corps constitué par les deux nombres 0 et 1, avec la multiplication habituelle et l'addition "modulo 2", c'est-à-dire que l'on pose 1 + 1 = 0).

6

- Le terme de groupe désigne une structure algébrique que l'on rencontre fréquemment et partout en mathématiques. Un groupe est un ensemble G d'éléments muni d'une opération interne, notée par exemple *, avec les trois propriétés suivantes valables pour tous éléments a, b, c de G :
- associativité : (a * b) * c = a * (b * c) ;
- existence d'un élément neutre e tel que a * e = e * a = a pour tout a ;
- existence d'un élément inverse a' pour tout a, vérifiant a' * a = a * a' = e.
L'ensemble Z des entiers relatifs, muni de l'addition, est un exemple de groupe. Les rotations géométriques autour d'un point du plan ou de l'espace constituent un autre exemple de groupe (l'opération interne étant ici la composition des applications).

7

- Le groupe de Galois d'une extension L d'un corps K (c'est-à-dire que L est un corps qui contient le corps K) est constitué des automorphismes sur L qui laissent inchangés les éléments de K. Par définition, un automorphisme f sur un corps L est une application bijective f : L ® L telle que f(a + b) = f(a) + f(b) et f(ab) = f(a)f(b), quels que soient les éléments a et b de L. L'ensemble des automorphismes de L, muni de la loi de composition des applications, forme un groupe ; les automorphismes de L qui laissent inchangés les éléments de K en forment un sous-groupe.

8

- Etant donné un groupe G, une représentation (linéaire) de G de dimension finie n consiste à associer à tout élément x de G une matrice R(x) à n ´ n composantes, c'est-à-dire un tableau de nombres comprenant n lignes et n colonnes, de manière à vérifier la propriété : R(x * y) = R(x)R(y) quels que soient les éléments x et y du groupe G. (Les matrices n ´ n représentent des transformations linéaires opérant sur un espace vectoriel de dimension n ; elles s'additionnent et se multiplient selon des règles assez simples). La théorie de la représentation des groupes joue un rôle essentiel notamment en physique, en relation avec les symétries.

9

- Le "groupe linéaire" GL(n, K) est le groupe constitué par les matrices à n lignes et n colonnes dont les n^2 composantes sont des éléments du corps K et qui sont inversibles (pour la loi de mutiplication des matrices, qui n'est en général pas commutative). Par exemple, pour n = 2 et K = R, il s'agit des matrices inversibles à 2 ´ 2 composantes, ces composantes étant des nombres réels. Pour n = 1 et K = R, le groupe linéaire équivaut à l'ensemble des nombres réels, muni de la multiplication ordinaire (qui est commutative).

10

- Les fonctions L constituent une classe particulière de fonctions d'une variable complexe s. Elles permettent d'étudier des propriétés arithmétiques par des méthodes qui relèvent de l'analyse. L'archétype des fonctions L est la fonction z (dzêta) de Riemann, définie pour s > 1 par z(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ... Un calcul assez simple montre qu'elle est égale au produit de tous les termes de la forme 1/(1 - 1/p^s) où p est un nombre premier, ce qui fait apparaître son lien avec l'arithmétique.

11

- Un peu plus explicitement, un tel corps est constitué des fonctions de la forme P(x, y)/Q(x, y), où P et Q sont des polynômes en x et en y, et où x et y sont les coordonnées des points appartenant à une "courbe définie sur un corps fini". Etant donné un corps fini F (c'est-à-dire un corps comportant un nombre fini d'éléments), une telle courbe est représentée par une équation algébrique reliant x et y, dans laquelle les coefficients et les inconnues x et y doivent être des éléments de F.

Crédits : CNRS