La correspondance de Langlands, une généralisation de la "théorie des corps de classes"

Quel rapport tout cela a-t-il avec la correspondance de Langlands ? Celle-ci est une généralisation de ce qu'on appelle la "théorie des corps de classes", édifiée depuis la fin du XIXe siècle et jusque vers 1950 par des mathématiciens comme Heinrich Weber, David Hilbert, Teiji Takagi, Emil Artin, Helmut Hasse et d'autres. Cette théorie, réputée complexe et difficile, est l'un des grands exploits de la théorie algébrique des nombres du XXe siècle.

© Josef Stuefer, CC BY-NC 2.0 

On peut la caractériser à l'aide des notions évoquées plus haut. En simplifiant, la théorie des corps de classes cherche, partant d'un corps K, à décrire certaines extensions K* de K dont le groupe de Galois est commutatif ("commutatif" signifie que dans l'opération interne du groupe, le résultat ne dépend pas de l'ordre dans lequel sont pris les éléments du groupe : a b = b a quels que soient les éléments a et b du groupe de Galois). En d'autres termes, cette théorie consiste, par l'intermédiaire du groupe de Galois, à dégager les propriétés de certains "surcorps" K* à partir des propriétés arithmétiques du corps de base K. C'est dans ce cadre qu'Emil Artin a obtenu en 1927 une loi de réciprocité générale, formulée de manière abstraite mais qui englobe toutes les lois de réciprocité trouvées précédemment (dont la plus simple est la loi de réciprocité quadratique mentionnée au début de ce texte).

Il était naturel de vouloir étendre la théorie des corps de classes aux cas où le groupe de Galois n'est pas commutatif. Des pistes pour ce faire n'ont été trouvées que dans les années 1960, en particulier par Langlands. Le principe était non pas d'étudier le groupe de Galois lui-même, mais de passer par ses représentations (8) (transformations linéaires qui miment la structure du groupe). Langlands a conjecturé l'existence d'une correspondance bijective entre certaines représentations de dimension finie n du groupe de Galois attaché à l'extension d'un corps K et certaines représentations dites automorphes associées au "groupe linéaire" GL(n, K), un groupe familier à tous les étudiants qui débutent en mathématiques (9). Un peu plus précisément, les conjectures de Langlands établissent ces correspondances via des fonctions particulières (d'une part, on sait rattacher les représentations galoisiennes à certaines fonctions dénommées "fonctions L" (10) ; d'autre part les représentations automorphes définissent des fonctions dénommées "formes automorphes" ; prouver la correspondance de Langlands implique donc de démontrer que les fonctions L liées aux représentations galoisiennes de l'extension de K sont les mêmes que les formes automorphes associées à GL(n, K)).