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Une perle méconnue

Dossier - Racine carrée : le fabuleux destin de √2
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Le fabuleux destin de √2 débute sur la tablette d'argile d'un scribe babylonien. Depuis, ce nombre hors du commun n'a cessé de marquer les esprits, donnant à voir une foule de richesses et de splendeurs mathématiques.

  
DossiersRacine carrée : le fabuleux destin de √2
 

La racine carrée de 2, qui vaut approximativement 1,414213562, est « le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 2 », selon la définition aujourd'hui la plus courante. 

Buste de Platon. © Marie-Lan Nguyen, Wikimedia commons, CC by 3.0

Elle est aussi la « racine du carré de taille 2 », c'est-à-dire la longueur du côté d'un carré d'aire 2. C'est ce contexte géométrique qui fait de cette « racine » un point de départ, une origine.

L'une comme l'autre de ces définitions pourrait laisser penser que nous avons affaire à un nombre tout juste bon à exprimer la solution d'un problème de géométrie pour écoliers auxquels on demande d'apprendre que l'aire A d'un carré de côté a est donnée par la formule Aa2. En réalité, non seulement ces deux aspects (algébrique et géométrique) ont d'innombrables conséquences dans des directions souvent inattendues, mais la racine carrée de 2 est susceptible d'autres définitions qui, elles aussi, donnent naissance à des ramifications qui s'étendent bien au-delà du simple calcul de l'aire d'un carré.

C'est ainsi que les domaines où intervient ce nombre au moins quatre fois millénaire dans l'histoire de la pensée sont d'une variété presque infinie.

Si la racine carrée de 2 devait être personnifiée, peut-être serait-ce en la déesse Athéna au panthéon des nombres. Toutes deux inspirent en effet les actions d'artisans ou d'ingénieurs autant que les réflexions intellectuelles d'un Platon.

Platon, détail de la fresque L'École d'Athènes du peintre italien Raphaël. Dans son dialogue intitulé Ménon, écrit dans la première moitié du IVe siècle avant notre ère, Platon donne ce qui est pour nous la plus ancienne démonstration du fait que le rapport de la diagonale au côté d'un carré est égal à √2.

Toutes deux figurent la rigueur, toutes deux apparaissent dans des situations très diverses

Enfin, de même que la protectrice de la cité d'Athènes se montre attentive aussi bien aux enfants qu'aux plus vaillants guerriers, la racine carrée de 2 est utile aux simples amateurs autant qu'aux mathématiciens chevronnés car, à tous, elle donne l'occasion de s'émerveiller, de découvrir et d'apprendre. Avec elle, nous sommes bien loin de cet autre résident de l'Olympe mathématique qu'est le nombre pi (π), rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre et qui vaut environ 3,14.

Dans un carré, le rapport de la diagonale au côté est égal à √2. Dans un cercle, le rapport de la circonférence au diamètre est égal à π.

Beaucoup de mathématiciens pensent du nombre pi qu'il est « le plus glorieux, le plus grand », comme le dit de Zeus l'Agamemnon de l'Iliade. Mais à l'instar du dieu souverain de la mythologie grecque, π se révèle souvent d'une puissance écrasante : la plupart de ses propriétés sont si difficiles à établir que bien des amateurs et des mathématiciens butent sur le sens profond de la démonstration de tel ou tel résultat significatif concernant le « roi des nombres ». La racine carrée de 2 est quant à elle d'un accès plus facile, tout en donnant à voir une foule de richesses et de splendeurs mathématiques.