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Tablette babylonienne : une impensable précision

Dossier - Racine carrée : le fabuleux destin de √2
DossierClassé sous :Mathématiques , racine carrée de 2 , tablette YBC 7289

Le fabuleux destin de √2 débute sur la tablette d'argile d'un scribe babylonien. Depuis, ce nombre hors du commun n'a cessé de marquer les esprits, donnant à voir une foule de richesses et de splendeurs mathématiques.

  
DossiersRacine carrée : le fabuleux destin de √2
 

Si des tablettes babyloniennes plus anciennes donnent certes déjà des évaluations de √2, la tablette YBC 7289 se distingue par sa remarquable précision (rien n'exclut toutefois, bien entendu, que d'autres tablettes aujourd'hui disparues aient pu la précéder).

Table de division et de conversion des fractions. © M0tty, Wikipedia, DP

Il semble qu'une évaluation babylonienne antérieure couramment utilisée était 1,4167, soit une précision de l'ordre du millième : la précision de YBC 7289 est, quant à elle, de l'ordre du millionième. De tous les nombres à trois rangs sexagésimaux (soit « trois chiffres après la virgule », les « chiffres » s'entendant en base soixante), celui figurant sur YBC 7289 est le plus proche de la racine carrée de 2.

Pourquoi les Babyloniens se sont-ils attachés à connaître la racine carrée de 2 avec autant de précision ?

Leurs motivations étaient-elles d'ordre pratique ? ludique ? intellectuel ? Quel regard portaient-ils sur le résultat ? Avaient-ils conscience de n'avoir trouvé qu'une approximation ou pensaient-ils avoir trouvé la valeur exacte de √2 ? Quelle méthode ont-ils employé pour parvenir à une telle précision, qui n'a peut-être été dépassée que par l'Indien Govindashwamin, pas moins de deux mille cinq cents ans plus tard ?

Outre les diverses utilisations pour des calculs marchands que faisaient les Babyloniens des racines carrées, un emploi possible de √2 dans l'Antiquité est donné par l'architecture. En 1892, l'égyptologue Francis Griffith a émis l'hypothèse qu'un système de mesures de longueur, dit « digital » et montrant des rapports de longueurs égaux à 7/5 et 10/7, pourrait avoir été conçu pour donner une approximation de √2 qui servait aux architectes pour réaliser des angles droits avec précision.

Pour vérifier qu'un angle est droit dans un carré tracé au sol, on peut comparer le rapport diagonale/côté à √2.

Toutefois, aucune utilisation de la racine carrée de 2 n'aurait pu sérieusement nécessiter la connaissance de plus d'une ou deux décimales : aucune justification pratique ne permet de comprendre pourquoi les Babyloniens ont éprouvé le besoin d'aller si loin dans la précision de leur approximation.

En l'absence de nécessité pratique, on peut proposer plusieurs éléments d'explication, non exclusifs les uns des autres. L'un d'eux est le plaisir du jeu. L'envie d'aller toujours un peu plus loin dans le calcul de la valeur de √2 aurait pu être exacerbée par le fait que, telle Athéna née toute casquée et armée en sortant de la tête de Zeus, la racine carrée de 2 semble avoir disposé dès sa naissance des outils les plus performants nécessaires à l'estimation de sa valeur : pour l'essentiel, nos ordinateurs utilisent la même technique que celle prêtée aux Babyloniens ! Une autre raison, conjecturale elle aussi, tient à la nature de l'expression de la racine carrée de 2, comme nous allons le voir. 

Une possibilité serait que, en évaluant le rapport de la diagonale du carré à son côté, les Babyloniens aient tout d'abord pensé qu'ils déboucheraient sur une valeur exacte, légitimant a posteriori les quelques efforts nécessaires pour l'atteindre.