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Le jeu de l'exactitude

Dossier - Racine carrée : le fabuleux destin de √2
DossierClassé sous :Mathématiques , racine carrée de 2 , tablette YBC 7289

Le fabuleux destin de √2 débute sur la tablette d'argile d'un scribe babylonien. Depuis, ce nombre hors du commun n'a cessé de marquer les esprits, donnant à voir une foule de richesses et de splendeurs mathématiques.

  
DossiersRacine carrée : le fabuleux destin de √2
 

Est-il raisonnable d'espérer pouvoir écrire la valeur exacte de la racine carrée de 2 avec un nombre fini de chiffres après la virgule ?

√2 a besoin d'une infinité de chiffres... © Agsandrew, Fotolia

Pour le savoir, plaçons-nous pour simplifier dans la base dix qui nous est familière et cherchons ce que devrait être la valeur d'un éventuel nombre décimal (c'est-à-dire n'ayant qu'une quantité finie de chiffres après la virgule) qui vérifierait que, multiplié par lui-même, on obtienne la valeur 2.

Une remarque clé...

La remarque clé pour étudier la question est que le dernier chiffre (c'est-à-dire le chiffre « le plus à droite ») du résultat de la multiplication de deux décimaux s'obtient en regardant le dernier chiffre du produit de leurs derniers chiffres. Par exemple, dans l'expression 54,27x3,6 = 195,372, le dernier chiffre du résultat (2) est le même que celui du résultat de la multiplication de 7 par 6 (on a 7x6 = 42). Pour se persuader que cela fonctionne pour n'importe quels nombres décimaux, on pose la multiplication selon la méthode « au château », celle apprise à l'école, et on observe la façon dont s'obtient le dernier chiffre du résultat.

Revenons à notre problème et notons m le dernier chiffre d'un éventuel nombre décimal x égal à la racine carrée de 2. Une fois m multiplié par lui-même, on doit obtenir un nombre dont le dernier chiffre est un 0, faute de quoi le produit de x par lui-même finit après la virgule par un chiffre non nul, empêchant du même coup ce produit d'atteindre la valeur 2. Or, une vérification simple indique que le carré de n'importe quel entier m entre 1 et 9 ne finit jamais par 0. D'où la conclusion : quelle que soit la valeur décimale x dont on part, jamais sa multiplication par elle-même ne donne 2. Autrement dit, la racine carrée de 2 n'est pas un nombre décimal.

Le raisonnement précédent s'adapte pour la base soixante des Babyloniens, à une petite complication près. Il s'adapte même, cette fois au prix d'un travail mathématique assez fourni, à toutes les bases de numération : que l'on choisisse la base deux des ordinateurs, la base dix qui nous est habituelle, la base soixante des Babyloniens ou n'importe quelle autre, √2 a besoin d'une infinité de chiffres pour être écrite de façon exacte, et l'on peut montrer que cette propriété est équivalente au fait que la racine carrée de 2 est un nombre irrationnel.