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Les paysages fractals

Dossier - Les fractales, une curiosité mathématique
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Qu'est-ce qu'une fractale ? Ce concept mathématique, dont le père est Benoît Mandelbrot, fascine car il peut décrire une multitude de structures naturelles et permettre la création de splendides œuvres d'art numériques. Entrez dans le monde incroyable des fractales.

  
DossiersLes fractales, une curiosité mathématique
 

C'est un domaine qui a été abordé très tôt par Mandelbrot, comme nous l'avons signalé précédemment. En perfectionnant son intuition initiale, il est possible de créer avec un ordinateur des paysages avec des reliefs étonnamment réalistes.

Paysage fractal. © Agnes123, DP

La méthode la plus simple pour créer un relief fractal est la méthode de déplacement du point médian.Une surface plane est découpée en plusieurs parties par un maillage (carré par exemple) et un déplacement vertical aléatoire est appliqué au centre de chaque maille. Chaque partie est à son tour subdivisée en surfaces plus petites par le même mécanisme et on applique au centre de chacune d'elles un nouveau déplacement vertical aléatoire. On recommence un nombre suffisant de fois pour avoir des détails de taille assez petite afin que l'image soit réaliste.

C'est manifestement une méthode récursive, comme on en rencontre dans toutes les constructions fractales. Pour que le relief soit vraisemblable il faut que le déplacement vertical maximum applicable à une maille soit une fraction du déplacement maximum défini pour l'itération précédente, afin que les grandes mailles déterminent les caractéristiques générales du relief, que les mailles de taille moyenne représentent des accidents de moindre amplitude et que les plus petites déterminent la rugosité de la surface du sol.

Cette méthode a l'avantage d'être simple à comprendre mais les reliefs peuvent présenter des artefacts sous forme de discontinuités peu vraisemblables. Une méthode plus élaborée repose sur l'utilisation d'une fonction décrivant un mouvement brownien fractionnaire. En gros, cette fonction représente la somme d'un grand nombre (en théorie infini) de fonctions sinusoïdales dont les phases sont décalées de façon aléatoire et dont l'amplitude est une fonction f-->1/fβ de la fréquence f, avec 1<=β<=3 (<= étant mis pour « inférieur ou égal à »). 

Cette méthode a été suggérée initialement par Mandelbrot puis développée et complexifiée par son élève Ken Musgrave de façon à fournir des images encore plus réalistes que celles obtenues en utilisant uniquement le mouvement brownien fractionnaire.

Notons au passage que la fonction de distribution des amplitudes en 1/f est une propriété importante qui se rencontre aussi dans divers autres problèmes traités par les fractales, comme la répartition des bruits parasites dans les circuits.

Exemple de paysage obtenu très facilement avec le programme Terragen.

Il est difficile de savoir, pour les programmes de paysages fractals élaborés, quelle est la proportion d'algorithmes fractals et non fractals utilisés. Dans tous les cas, le réseau de mailles calculé est un squelette à partir duquel la véritable image est obtenue par des méthodes de lissage et de lancer des rayons (de la même manière que dans les jeux informatiques les images sont en réalité obtenues par la décomposition de l'objet en une série de triangles dont les déformations sont calculées en fonction du déplacement de l'objet, du personnage ou de la scène ; or, à l'arrivée, on ne voit pas les triangles, mais des surfaces en relief sur lesquelles ont été ajoutés des effets de texture, d'ombre et de lumière).