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Les quaternions

Dossier - Les fractales, une curiosité mathématique
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Qu'est-ce qu'une fractale ? Ce concept mathématique, dont le père est Benoît Mandelbrot, fascine car il peut décrire une multitude de structures naturelles et permettre la création de splendides œuvres d'art numériques. Entrez dans le monde incroyable des fractales.

  
DossiersLes fractales, une curiosité mathématique
 

En remplaçant les nombres imaginaires par des quaternions, il est possible de représenter les ensembles de Julia en 3D... et même en 4D.

Les quaternions sont une généralisation des nombres complexes. Ils ont été introduits au XIXe siècle par le célèbre mathématicien Hamilton qui a établi les règles de l'arithmétique de ces nombres.

Une fractale. © YMF, DP

Les quaternions ont une partie entière et trois parties imaginaires. On peut remplacer les nombres complexes par des quaternions dans la formule de l'ensemble de Mandelbrot ou des ensembles de Julia. La représentation graphique de ces ensembles paraît à première vue impossible. En effet, si les ensembles de Mandelbrot et de Julia classiques peuvent être représentés en deux dimensions, leurs homologues quaternioniques ont quatre dimensions. Les choses sont toutefois plus simples qu'il n'y paraît. En effet, on peut considérer ces objets comme des objets à trois dimensions qui évoluent dans le temps (la quatrième dimension).

Donc si l'on donne à une des parties imaginaires une valeur constante, tout se passe comme si l'on regardait un objet à trois dimensions à un moment précis de son évolution. En faisant des constructions graphiques pour des valeurs successives de la variable « temps », il est même possible de faire une animation où l'on voit l'ensemble apparaître progressivement, grandir, changer de forme, puis diminuer jusqu'à disparaître.

Concrètement, on représente des ensembles de Julia quaternioniques. Imaginez que vous isoliez la partie noire qui, dans une image vue précédemment, représente l'ensemble de Julia. Imaginez que cet ensemble soit un volume et non une surface plane. Imaginez enfin que vous regardiez cet ensemble de l'extérieur : vous obtenez un objet étrange qui ressemble à une sculpture moderne abstraite.





Ces images posent un problème apparent : elles sont trop lisses car leur surface devrait être beaucoup plus complexe et montrer une structure fractale qui n'est guère visible. L'explication réside dans le fait qu'on utilise un nombre d'itérations très faible parce que l'image est plus plaisante. De plus, pour avoir un rendu plus réaliste, on applique à l'objet des techniques classiques pour les images de synthèse en 3D : réglage du brillant de la surface, de l'éclairage ambiant, positionnement d'une source d'éclairage ponctuelle (technique dite de « lancer de rayons »). Ci-contre trois images du même « quaternion » avec 8, 10 et 12 itérations.