Exemple de paradoxe infini : l’hôtel de Hilbert

L'histoire suivante, le paradoxe de l'hôtel de Hilbert, illustre pourquoi des ensembles infinis actuels ont longtemps paru absurdes.

L'hôtel de Hilbert. © HypnoArt, DP

Un hôtel infini dont les chambres sont numérotées par les entiers 0, 1, 2, 3,... est complet pour la nuit (un client occupe chaque chambre). Arrive un client. « Pas de problème, lui répond le responsable de l'accueil. Installez-vous dans la chambre 0. Je demande au client de la chambre 0 de passer dans la chambre 1, à celui de la chambre 1 de passer dans la chambre 2, etc. »

L'accueil dispose bien sûr d'un téléphone spécial qui permet de téléphoner simultanément à toutes les chambres en demandant au client de la chambre n de passer en n+1. Le nouveau client a pu être reçu.

David Hilbert, photographié en 1886. Les célèbres problèmes de Hilbert, publiés en 1900, continuent pour certains de mettre les mathématiciens en échec. © DP

Dix minutes plus tard arrive un car (infini, bien sûr) de nouveaux clients qui demandent à passer la nuit dans l'hôtel. « Pas de problème », répond le responsable de l'accueil au chauffeur du car, et il utilise son téléphone pour demander au client de la chambre n de passer dans la chambre 2n. Il indique alors au chauffeur du car que le voyageur numéro i de son car peut disposer de la chambre 2i+1 (qui est effectivement libre, puisque toutes les chambres de numéro impair ont été libérées).

Une demi-heure plus tard arrive un groupe plus important constitué d'une infinité de cars, chacun ayant à leur bord une infinité de passagers. « Pas de problème, je vous arrange ça », répond le responsable de l'accueil. Il téléphone au client de la chambre i de passer dans la chambre 2i+1 (ce qui libère toutes les chambres ayant un numéro pair) et donne la consigne suivante au responsable du groupe d'autocars : le passager numéro i du bus j doit occuper la chambre 2ⁱ⁺¹(2j+1). Tout se passe bien, et jamais deux voyageurs différents ne se sont vu attribuer la même chambre.