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L'infini est un sujet d'étude qui ne cesse de surprendre. Contrairement aux autres domaines des mathématiques, le travail n'y est pas seulement déductif. Comme l'a compris Gödel, il faut en trouver les règles par l’essai d'axiomes et des théories nouvelles. Le vertige que l'exploration des totalités infinies nous fait éprouver et l'étonnement dont on est saisi par les limitations logiques rencontrées constituent des plaisirs intellectuels souvent dérangeants.
L'histoire suivante, le paradoxe de l'hôtel de Hilbert, illustre pourquoi des ensembles infinis actuels ont longtemps paru absurdes.
Un hôtel infini dont les chambres sont numérotées par les entiers 0, 1, 2, 3,... est complet pour la nuit (un client occupe chaque chambre). Arrive un client. « Pas de problème, lui répond le responsable de l'accueil. Installez-vous dans la chambre 0. Je demande au client de la chambre 0 de passer dans la chambre 1, à celui de la chambre 1 de passer dans la chambre 2, etc. »
L'accueil dispose bien sûr d'un téléphone spécial qui permet de téléphoner simultanément à toutes les chambres en demandant au client de la chambre n de passer en n+1. Le nouveau client a pu être reçu.
Dix minutes plus tard arrive un car (infini, bien sûr) de nouveaux clients qui demandent à passer la nuit dans l'hôtel. « Pas de problème », répond le responsable de l'accueil au chauffeur du car, et il utilise son téléphone pour demander au client de la chambre n de passer dans la chambre 2n. Il indique alors au chauffeur du car que le voyageur numéro i de son car peut disposer de la chambre 2i+1 (qui est effectivement libre, puisque toutes les chambres de numéro impair ont été libérées).
Une demi-heure plus tard arrive un groupe plus important constitué d'une infinité de cars, chacun ayant à leur bord une infinité de passagers. « Pas de problème, je vous arrange ça », répond le responsable de l'accueil. Il téléphone au client de la chambre i de passer dans la chambre 2i+1 (ce qui libère toutes les chambres ayant un numéro pair) et donne la consigne suivante au responsable du groupe d'autocars : le passager numéro i du bus j doit occuper la chambre 2i+1(2j+1). Tout se passe bien, et jamais deux voyageurs différents ne se sont vu attribuer la même chambre.
