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La symétrie en physique

Dossier - L'élégante efficacité des symétries
DossierClassé sous :Mathématiques , symétrie , physique quantique

La symétrie est une notion abordée par chaque enfant dès l’école primaire. Essentielle, elle existe dans la nature (position des yeux d'un visage, par exemple) et se trouve au cœur de la physique et des mathématiques. Entrez dans le monde fascinant de la symétrie.

  
DossiersL'élégante efficacité des symétries
 

Pour tenter de comprendre les raisons du rôle cardinal joué par les symétries en physique, il nous faut d'abord préciser les multiples sens que recouvre la notion de symétrie. En s'en emparant, les physiciens ont donné à celle-ci une envergure considérable au fur et à mesure que l'on découvrait, tout au long du XXe siècle, sa fécondité et sa pertinence.

Château de Chenonceau. © Yvan Lastes, Wikimedia commons, CC by-sa 3.0

Pour limiter les risques de confusion autour du concept de symétrie, devenu si protéiforme, je dégagerai quatre facettes qui lui sont attachées. En effet, le terme « symétrie » peut renvoyer à :

  • une transformation ; 
  • un regroupement ou compréhension ;
  • une invariance ; 
  • une projection ou brisure de symétrie.
Château de Chenonceau, en Indre-et-Loire. La photographie montre un exemple de symétrie miroir, qui échange eau et bas. © Amaury Mouchet, Dunod

Symétrie : de la transformation à la brisure

En gardant à l'esprit l'exemple de la symétrie miroir, nous pouvons préciser les quatre facettes dont il a été question plus haut.

 Transformation. D'abord, en considérant l'opération qui consiste à construire l'image à partir de son objet, on s'intéresse surtout aux règles qui permettent cette construction. On parle alors de transformation de l'objet en son image.

 Regroupement ou compréhension. Ensuite, on peut se focaliser sur l'ensemble obtenu en réunissant l'objet et son image. Si l'on fait plusieurs transformations successives par rapport à des plans différents, cette opération de regroupement signifie que l'on garde l'objet et toutes ses images successives.

 Invariance. Le regroupement de l'objet et de ses images par transformations successives a permis de construire un ensemble qui présente une invariance par les transformations en question. Dans le cas d'une seule symétrie miroir, le couple formé de P et de P', se transforme en un couple formé de P' et de P, qui est en fait le même que celui de départ. Lorsque l'objet et l'image sont échangés l'un avec l'autre, le couple ne subit globalement aucune modification.

 Projection ou brisure de symétrie. Enfin, l'opération inverse du regroupement consiste à décomposer un ensemble invariant en éléments obtenus les uns des autres par des règles de transformation simples et à n'en retenir qu'un seul. Dans le couple formé de P et de P', on choisit un seul des deux points et on élimine l'autre. On parle alors communément de brisure de symétrie, puisque l'élément choisi n'est pas, en général, identique à son image.

Même en physique, on ne distingue pas toujours les quatre facettes les unes des autres. Souvent, du reste, on ne retient que la troisième facette seule, en faisant de symétrie un synonyme d'invariance. D'ailleurs, à propos de la quatrième facette, dans l'expression consacrée « symétrie brisée », c'est bien l'invariance qui est brisée. En outre, dans le langage commun, on se réfère implicitement à une transformation qui, comme la symétrie miroir (par rapport à un plan) lorsqu'elle est appliquée deux fois successivement, consiste à ne rien modifier.