Quelle est la vitesse moyenne d'un cycliste ? © Pexels, Pixabay, DP

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Jeu mathématique : la moyenne du cycliste

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Les questions de moyennes semblent simples : pour connaître la taille moyenne de N personnes, vous les additionnez et divisez par N. Est-ce toujours aussi élémentaire ? Voici un exemple troublant.

Un cycliste part d'Alphaville pour se rendre à Bêtaville, à 20 kilomètres à l'heure. Puis, pressé, il retourne à Alphaville, à 30 kilomètres à l'heure. Quelle est sa vitesse moyenne ?

Qu’est-ce que la moyenne harmonique ? © Pexels, Pixabay, DP

Réponse :

On pourrait être tenté de répondre 25 kilomètres à l'heure, la moyenne arithmétique entre 20 et 30. Pourtant la question est plus subtile que cela ! La distance entre Alphaville et Bêtaville n'importe pas. Pour simplifier les calculs, imaginons qu'elle soit de 60 kilomètres. Dans ce cas, le cycliste effectue l'aller en 3 heures et le retour en 2 heures donc il parcourt 120 kilomètres en 5 heures. Sa moyenne est donc de 24 kilomètres à l'heure.

La moyenne utilisée ici se nomme moyenne harmonique. Plus précisément, si ab, etc. sont N nombres, leur moyenne harmonique H est le quotient de N par la somme 1/a + 1/b + etc. ce qui donne, dans le cas de notre cycliste, 2 divisé par 1/20 + 1/30 = 5/60 soit H = 120/5 = 24.

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En savoir plus sur Hervé Lehning

Normalien et agrégé de mathématiques, Hervé Lehning a enseigné sa discipline une bonne quarantaine d'années. Fou de cryptographie, membre de l'Association des réservistes du chiffre et de la sécurité de l'information, il a en particulier percé les secrets de la boîte à chiffrer d'Henri II. 

À découvrir également : L'univers des codes secrets de l'Antiquité à Internet, paru en 2012 chez Ixelles.