Le théorème du moustique. © James Gathany, Wikimedia Commons, Domaine Public

Sciences

Qu’est-ce que le théorème du moustique ?

Question/RéponseClassé sous :Mathématiques , théorème , moustique

Ronald Ross (1857 - 1932), prix Nobel de médecine en 1902, a découvert la transmission du paludisme par les moustiques dès 1897 avant d'affirmer, en 1911, que réduire la population de moustiques pouvait permettre d'éradiquer cette maladie : il existait un seuil en dessous duquel la transmission ne se faisait plus, ce qu'il appelait le théorème du moustique.

Avant la découverte de Ross, le lien entre les marécages et le paludisme était connu comme le montre les tentatives de drainage des marais Pontins près de Rome, de l'Antiquité jusqu'au XIXe siècle. De même, le paludisme a disparu de France, où il était autrefois endémique dans les régions humides comme la Sologne, le marais Poitevin et même autour de Port-Royal des Champs, au cours du XIXe siècle grâce au drainage ; et non à la consommation de Quinquina, un apéritif à base de Quinine, préventif du paludisme, comme cela a été parfois affirmé !

Le modèle SIR

Ce théorème a été justifié en 1927 par la première modélisation réaliste du développement des épidémies, due à William Kermack (1898 - 1970) et Anderson McKendrick (1876 - 1943). Leur modèle compartimente la population en trois classes : S, la classe des individus susceptibles d'attraper la maladie, I, celle de ceux qui en sont infectés (et contagieux) et R, ceux qui en sont revenus ou morts.

Régions du monde où le paludisme est endémique. © Percherie, Wikimedia Commons, CC by-sa 3.0

Le modèle SIR suppose implicitement que la population totale n'augmente pas et il considère l'évolution de ces trois classes dans le temps en fonction de deux taux mesurables expérimentalement. Le premier (α) est le taux de contagion de la maladie pour un infecté, c'est-à-dire la probabilité pour qu'un individu susceptible attrape la maladie après contact avec un individu infecté. Le second taux (β) mesure le passage de l'état I à l'état R. Après un laps de temps t, on compte a I S t infectés supplémentaires et R augmente de β  I t. La variation du nombre d'infectés est donc égale à α S - β multiplié par I t.

La condition pour que la maladie se propage (et donc donne lieu à une épidémie) est que le nombre de malades infectés augmente, c'est-à-dire que : α  S - β > 0. Le quotient b / α a donc valeur de seuil. Si le nombre de sujets susceptibles est strictement inférieur à ce seuil, la maladie ne s'étend pas. Sinon, elle donne lieu à une épidémie. En particulier, ce modèle justifie le théorème du moustique.

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En savoir plus sur Hervé Lehning

Normalien et agrégé de mathématiques, Hervé Lehning a enseigné sa discipline une bonne quarantaine d'années. Fou de cryptographie, membre de l'Association des réservistes du chiffre et de la sécurité de l'information, il a en particulier percé les secrets de la boîte à chiffrer d'Henri II. 

À découvrir également : L'univers des codes secrets de l'Antiquité à Internet, paru en 2012 chez Ixelles.