L'art fractal consiste &agrave; produire des images gr&acirc;ce &agrave; des [popupdefinition id=561]logiciels[/popupdefinition] g&eacute;n&eacute;rant des [popupdefinition id=7969]fractales[/popupdefinition]. &copy; Kobol75, Shutterstock

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L'art fractal : des images issues de logiciels

Une figure fractale, ou « fractale », est en première approximation une courbe, une surface, un volume de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne. Ce terme « fractale » est un néologisme créé par le mathématicien Benoît Mandelbrot en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier.
Plus généralement, une fractale désigne des objets dont la structure est invariante par changement d’échelle. Il existe en réalité une théorie mathématique précise derrière ces différents objets et qui permet de parler de structures mathématiques ayant des dimensions non-entières.
Des structures fractales étaient connues avant leur popularisation au début des années 1980 grâce aux images calculées par les ordinateurs devenus suffisamment puissants à l'époque. On connaissait ainsi les courbes de Peano et de von Koch. De nos jours, l'ensemble de Mandelbrot et celui de Julia sont les plus célèbres.
Des fractales dans de nombreux domaines
Des formes fractales approximatives sont facilement observables dans la nature. La théorie mathématique des fractales peut apporter des informations intéressantes dans plusieurs domaines scientifiques comme :
en géologie, étude du relief, côtes et cours d'eau, structures de roches, avalanches ;en morphologie animale, structures des Invertébrés, plumes d'oiseaux ;en médecine, structure des poumons, intestins, battements du cœur ;en météorologie, nuages, vortex, banquise, vagues scélérates, turbulences, structure de la foudre ;en volcanologie, prévision d'éruptions volcaniques, tremblements de terre ;en astronomie avec la description des structures de l'univers, cratères sur la Lune, répartition des galaxies ; en sciences humaines, structure urbaine, évolution de la démographie ;en économie, prévision des krachs boursiers.

Fractale

Le mot logiciel a été reconnu par l’Académie française au début des années 1970. C’est un mot-valise qui signifie logique et matériel. Il était destiné à remplacer l’anglais software, le distinguant ainsi de hardware qui est la partie matérielle d’un appareil informatique.Le logiciel, cerveau de l’appareil qu’il commande ?Le logiciel est ensemble d’instructions, de programmes informatiques qui indiquent à un ordinateur, un smartphone, une tablette, une console de jeux, etc. comment ils doivent fonctionner. Il peut s’agir :
d’un système d’exploitation ;
d’un système d’application (logiciel bureautique, navigateur, jeu, éditeur, etc.) ;
d’un progiciel à finalité professionnelle.
Le logiciel standard et le logiciel spécifiqueLe logiciel peut être classé en fonction de son degré de standardisation :
le logiciel standard, destiné au grand public,
le logiciel spécifique conçu pour un usage particulier et un type de client. Il répond à des besoins spécifiques.
La grande majorité d’entre eux sont des logiciels applicatifs. Certaines sociétés informatiques se sont spécialisées dans la fabrication de logiciels spécifiques, sur un mode artisanal. Elles fournissent des programmes conformes aux exigences d’un client particulier. C'est un logiciel personnalisé, développé sur commande pour une entreprise et réservé à un usage particulier. Il s’agit, par exemple, de faire fonctionner un appareil médical, de créer un Intranet d’entreprise, de gérer des chambres d’hôtel, ou de piloter une voiture autonome.Quels sont les types de logiciels ? Il est devenu difficile de classer les différents types de logiciels tant ils sont nombreux. On peut néanmoins les distinguer selon leurs usages qu’ils soient d’ordre juridique ou technologique.Les finalités technologiques des logicielsOn peut établir une hiérarchie des logiciels :
les logiciels de programmation sont conçus pour élaborer de nouveaux programmes et de nouveaux logiciels ;
le logiciel système établit une relation entre l’être humain et la machine, comme Android, Linux, Windows, MacOs et iOs ;
les logiciels d’application exécutent des tâches précises (calculatrices, éditeurs, applications de réseaux sociaux, lecteurs vidéo et musicaux, navigateurs, etc.).
Certains d’entre eux remplissent plusieurs fonctions à la fois et il n’est pas toujours facile de les classer. Ainsi, le navigateur de Chrome OS peut être considéré comme logiciel système et d’application. Les éditeurs de textes qui servent à produire du code sont des logiciels de programmation et d’application.L’exploitation des logiciels et le droit Le droit a reconnu l’existence de plusieurs types de logiciels selon leur contrat de licence : 
le logiciel propriétaire : seul son auteur a le droit de le modifier et de le diffuser ;
le logiciel libre ou open source : n’importe quel utilisateur peut le modifier et le distribuer ;
le gratuiciel est un logiciel propriétaire distribué gratuitement ;
le partagiciel : l’auteur permet à autrui de le diffuser.
Comment fonctionne un logiciel ?Le logiciel est stocké dans des fichiers informatiques, du papier, une clé USB ou une disquette. Les différents programmes qu’il contient sont également appelés séquences d’instruction.Les différentes composantes d’un logiciel Ses programmes : le logiciel en compte toujours plusieurs.
ils existent sous forme de codes binaires ou de codes sources ;
le système d’exploitation dirige le logiciel, organise les fichiers et fait office d’interface entre l’être humain et la machine ;
les images, les procédures automatiques, les fichiers de configurations qui rendent possible l’exécution des programmes.
Le processus d’exécutionC’est généralement grâce au système d’exploitation et aux bibliothèques d’exécution que le processus est mis en œuvre. Exemples de logiciels applicatifs
Traitement de texte et édition (Word, Evernote, Pages, Adobe Acrobat Reader…)
Tableurs (Excel, Calc, Numbers…)
Gestion de bases de données (SQL, Access…)
Comptabilité (Ciel, EBP Compta…)
Sécurité (antivirus, sauvegarde et restauration)
Navigateur Internet (Edge, Chrome, Safari, Firefox…)
Communication et messageries (Skype, Outlook, Slack…)
Lecteurs multimédia (Windows Media Player, Real Player, QuickTime…)
Photo et dessin (Photoshop, Paint, Illustrator…)

Montage vidéo (Final Cut Pro, Adobe Premiere, iMovie…)
Conception 3D (Blender, SketchUp, Vrai, Photoshop…)
Jeux.

Logiciel

9669_l-art-fractal-:-des-images-issues-de-logiciels

L'art fractal est notamment employ&eacute; dans le monde du design car il permet d'obtenir diverses [popupdefinition id=1636]textures[/popupdefinition]. &copy; Stocklady, Shutterstock

L'art fractal et le design

Désigne les relations spatiales perceptibles à l'oeil nu entre les minéraux constitutifs d'une roche ou d'un minerai (forme, taille et positions relatives).

Texture

9671_l-art-fractal-et-le-design

L'[popupdefinition id=17185]Amazone[/popupdefinition], ce fleuve aux 1.000 cours d'eau, se jette dans l'oc&eacute;an dans un m&eacute;andre fractal.&copy; [popupdefinition id=2468]Nasa[/popupdefinition], DP

La géométrie fractale et les fleuves : l'Amazone

L’Amazone est un fleuve d’Amérique du Sud. Il prend sa source au Pérou, dans la cordillère des Andes, puis se jette dans l’océan Atlantique au nord du Brésil, au niveau de l’équateur. Sur son parcours de plus de 6.000 km de long, il traverse trois pays : le Pérou, la Colombie et le Brésil. Il se dispute le titre de plus long fleuve du monde avec le Nil, qu’il devancerait d’une centaine de kilomètres.
L’Amazone multiplie les records. Transportant en moyenne un volume de 209.000 m3 d’eau par seconde, c’est le fleuve au débit le plus élevé au monde. Il collecte les eaux de plus de 1.000 affluents et représente à lui seul environ 20 % de l’eau douce déversée dans les océans par les fleuves de la planète. Par ailleurs, le bassin amazonien est le plus vaste du monde.
Le fleuve Amazone draine une surface de plus de 6 millions de km2 qui occupe 40 % de l’Amérique du Sud. © Kmusser, Wikimedia Commons
L’exploration d’un fleuve riche en biodiversité
Le fleuve est entouré de la forêt amazonienne, trésor de biodiversité et foyer de nombreux peuples indigènes depuis des millénaires. Les Européens, plus précisément les Espagnols, ne découvrent l’Amazone qu’en 1500. Après quoi, la première exploration de l’Amazone a lieu en 1541-1542 lorsque Francisco de Orellana et son expédition descendent le fleuve depuis sa source jusqu’à l’embouchure. 
L’Amazone présente plusieurs couleurs. La rencontre des eaux claires de la partie supérieure de l’Amazone avec les eaux foncées du Rio Negro en aval offre un spectacle exceptionnel. Enfin, l’Amazone abrite une faune particulièrement riche. Y vivent plusieurs milliers d’espèces de poissons, des crabes, des tortues, des amphibiens, des piranhas, sans oublier l’anaconda et le dauphin rose d’Amazonie, aussi appelé Boto.

Amazone

La Nasa (National Aeronautics and Space Administration) est une agence gouvernementale américaine, chargée d’exécuter le programme spatial civil. Aujourd’hui encore, elle est considérée comme un leader dans le domaine de l’aérospatiale. À son palmarès figurent les missions Apollo qui ont permis l’envoi des premiers Hommes sur la Lune, l’exploration de Mars par Curiosity ou encore les découvertes du télescope spatial Hubble.
Fondée le 29 juillet 1958 par le président Eisenhower, la Nasa vient remplacer le Naca (National Advisory Committee for Aeronautics), opérationnel depuis 1915. Guerre froide oblige, sa mission est alors de concurrencer le programme spatial soviétique. © Nasa
De nos jours, la Nasa emploie environ 20.000 personnes réparties dans une vingtaine d’institutions, comme le Goddard Space Flight Center, le Jet Propulsion Laboratory, le Langley Research Center ou encore le Kennedy Space Center. Elle accomplit des missions d’exploration et de recherche dans le domaine spatial et aérospatial par divers moyens : sondes, satellites, missions robotisées, etc. L’agence possède également un volet sciences de la Terre, pour étudier en particulier les effets du changement climatique.
Le Kennedy Space Center, en Floride, est une base de lancement située à proximité de Cap Canaveral. © Nasa
Les missions marquantes en cours et les projets futurs
La Nasa exploite la Station spatiale internationale (ISS), en coopération avec d’autres agences gouvernementales, où sont réalisées des recherches en astronomie, en sciences des matériaux et en biologie. Depuis 1990, l’agence exploite le célèbre télescope spatial Hubble, à l’origine d’avancées importantes dans notre connaissance de l’univers. Le très attendu James Webb Space Telescope viendra lui prêter main-forte en 2019.
Pour explorer Mars, la Nasa a lancé le programme Mars Science Laboratory (MSL), connu pour son rover Curiosity parcourant depuis 2012 le sol de la planète rouge à la recherche de traces de vie ancienne. Curiosity devrait être rejoint par l’atterrisseur InSight (lancement en mai 2018), puis viendra le rover Mars 2020, prévu pour le début des années 2020.
Dans le reste du Système solaire, des missions d’exploration étudient les géantes gazeuses, telle la sonde spatiale Cassini qui a plongé dans l’atmosphère de Saturne mi-septembre 2017 et la sonde New Horizons, toujours en activité, la première à avoir survolé Pluton et poursuit son exploration de la ceinture de Kuiper.

Nasa

3596_la-geometrie-fractale-et-les-fleuves-:-l-amazone

Cet [popupdefinition id=14137]arbre[/popupdefinition] brownien (un cas particulier d'arbre r&eacute;el al&eacute;atoire) est n&eacute; d'une solution de sulfate de [popupdefinition id=14798]cuivre[/popupdefinition] dans une cellule d'&eacute;lectrod&eacute;position.&copy; Kevin R. Johnson, DR

Un arbre brownien né de sulfate de cuivre

Sa patine verte est caractéristique et recouvre notamment la statue de la Liberté : le cuivre est partout, des ustensiles de cuisine aux ordinateurs, mais aussi sur les toits.
Généralités
Symbole : ...

Cuivre

En biologie, un arbre peut désigner un végétal ou une représentation schématique d’une classification.L’arbre, végétal lignifiéUn arbre est un végétal supérieur terrestre, qu’il soit gymnosperme ou an...

Arbre

3597_un-arbre-brownien-ne-de-sulfate-de-cuivre

Une formule math&eacute;matique assist&eacute;e d'un [popupdefinition id=561]logiciel[/popupdefinition] produit de v&eacute;ritables bijoux.&copy; Nevit, DR

Un joyau fractal

3598_un-joyau-fractal

C'est bien pour sa forme et non pour sa [popupdefinition id=4126]couleur[/popupdefinition] que le chou est fractal.&copy; Cacophony, DR

La nature fractale du chou

La couleur, c'est ce qui permet de différencier deux objets de formes et de structures identiques, par exemple le drapeau italien du drapeau français. C'est aussi ce qui n'est ni blanc, ni gris, ni noir. Le blanc et le noir étant les bornes de la gamme des gris neutres.
Quelquefois, la couleur est utilisée pour désigner un objet, comme dans le cas d’un tube de rouge pour parler du rouge à lèvres, par exemple. La couleur est aussi parfois confondue avec la tonalité. Par exemple dans un ton vert, il y a plusieurs couleurs vertes, plus ou moins claires ou foncées. Une couleur est unique.
Il existe deux systèmes trichromatiques (trois couleurs primaires) :
par synthèse additive, dont les couleurs primaires sont rouge, vert et bleu (RVB) ;et par synthèse soustractive, dont les couleurs primaires sont cyan, magenta et jaune (CMJ).
La couleur du physicien
La couleur, c’est aussi la sensation produite par un rayonnement physiquement défini appelé stimulus. Celui-ci pénètre dans l'œil et est capté par des millions de cônes répartis dans la rétine mais surtout concentrés dans sa partie centrale, la fovéa, siège de la vision la plus distincte.
Pour le physicien, le terme de couleur renvoie donc à la couleur spectrale, c’est-à-dire à la perception sensorielle de l’œil humain en fonction de la longueur d’onde de la lumière qu’il reçoit. Ainsi, une lumière de longueur d’onde 550 nm est perçue comme étant de couleur verte. Le spectre visible est composé des sept couleurs de l’arc-en-ciel, soit rouge, orange, jaune, vert, bleu, indigo et violet. Le vert étant la couleur à laquelle l’œil humain est le plus sensible.
 L’œil humain peut différencier près de huit millions de nuances de couleurs. Pourtant, cet organe si avancé ne donne que peu d’informations à notre cortex pour créer une image. Alors que se passe-t-il exactement lorsque nous voyons ? Unisciel et l’université de Lille 1 nous expliquent, avec le programme Kézako, le fonctionnement de ce surprenant organe. © Unisciel
La production des couleurs
C’est en interagissant (absorption, diffusion, réfraction, interférences ou diffraction) avec la matière que la lumière produit des couleurs. La couleur bleue du ciel est ainsi le résultat d'une combinaison de plusieurs de ces phénomènes.
L’absorption de lumière est l’un des principaux mécanismes qui entrent dans le jeu des couleurs dans la vie courante. En effet, la plupart des matériaux ont pour particularité d’absorber certaines longueurs d’ondes de la lumière. Si, par exemple, les carottes nous apparaissent orange, c’est qu’elles contiennent du bêtacarotène qui absorbe les longueurs d’ondes comprises entre le violet et le vert et réfléchit la partie du spectre allant du rouge au vert.
La couleur du physicien des particules
Le physicien des particules utilise le terme « couleur » pour désigner un nombre quantique attribué aux quarks et aux gluons. Ainsi, les quarks existent en trois couleurs : rouge, bleu et vert. Les hadrons, quant à eux, sont de couleur neutre, c’est-à-dire blancs. Cependant, aucun rapport ici avec une perception visuelle que nous pourrions en avoir.
La notion de charge de couleur a été introduite pour expliquer la coexistence des quarks au sein des hadrons, tout en satisfaisant le principe d’exclusion de Pauli. Aujourd’hui, la chromodynamique quantique joue un rôle important dans le modèle standard de la physique des particules.

Couleur

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Ce cristal de [popupdefinition id=14803]gallium[/popupdefinition] est une [popupdefinition id=7969]fractale[/popupdefinition] trouv&eacute; sous [popupdefinition id=4725]terre[/popupdefinition]. On trouve cet [popupdefinition id=15852]&eacute;l&eacute;ment chimique[/popupdefinition] (de symbole Ga et de [popupdefinition id=4426]num&eacute;ro atomique[/popupdefinition] 31) dans le [popupdefinition id=1553]minerai[/popupdefinition] de [popupdefinition id=1414]bauxite[/popupdefinition] et dans les minerais de [popupdefinition id=14800]zinc[/popupdefinition]. &copy; Foobar, Wikimedia Commons, CC by-sa 3.0

Une fractale naturelle de cristal de gallium

Comme le mercure, le gallium peut exister à température ambiante ou presque (30 °C). De plus, il possède la plage d’état liquide (la différence entre point de fusion et point d’ébullition) la plus importante de tous les éléments.
Généralités
Symbole : GaNuméro atomique : 31Électrons par niveau d’énergie : 2, 8, 18, 3Masse atomique : 69,723 uIsotopes les plus stables : 69Ga, stable avec 38 neutrons (60,1 %), 71Ga avec une durée de vie supérieure à 2,4 x 1026 années (39,9 %)Série : métaux pauvresGroupe, période, bloc : 13 (IIIA), 4, pDensité : 5,9 (solide à 29,6 °C), 6,1 (liquide à 29,6 °C)Point de fusion : 29,76 °CPoint d’ébullition : 2.204 °C
Historique du gallium
Le gallium a été découvert en 1875 et son nom lui a été donné par son découvreur, le chimiste français Paul-Émile Lecoq de Boisbaudran.
Propriétés du gallium
D'aspect argenté, le gallium se brise comme le verre quand il est solide. Le volume du gallium augmente lors de la solidification. Il peut corroder les autres métaux par diffusion dans leur réseau métallique.
Utilisation du gallium
Le gallium est principalement utilisé en alliage avec l'arsenic dans l'arséniure de gallium GaAs, un semi-conducteur très utilisé en optoélectronique. Cet élément permet également d'obtenir des images de sites d'inflammation par scintigraphie, en imagerie médicale.
Effets du gallium sur la santé et toxicité
Le gallium semble corrosif pour la peau et les muqueuses mais il est considéré comme faiblement toxique aux doses habituellement rencontrées. L'arséniure de gallium est peut-être reprotoxique (altération de la spermatogénèse chez le rat). Cependant, cet élément ne semble pas avoir fait l'objet d'études poussées sur sa toxicologie.

Gallium

Troisième métal de tran­si­tion le plus élaboré par l’Homme (après le fer et le cuivre), le zinc est surtout connu pour sa bonne tenue à la corrosion, des aciers industriels aux toitures.Généralités
Symbole : Zn
Numéro atomique : 30
Électrons par niveau d’énergie : 2, 8, 18, 2
Masse atomique : 65,409 u
Isotopes les plus stables : 64Zn, avec une demi-vie supérieure à 4,3 milliards de milliards d'années (48,2 %), 66Zn stable avec 36 neutrons (28 %), 68Zn stable avec 38 neutrons (19 %), 67Zn stable avec 37 neutrons (4,1 %), 70Zn avec une demi-vie supérieure à 13 millions de milliards d'années (0,6 %)
Série : non-métaux
Groupe, période, bloc : 12, 4, d
Densité : 7,13
Point de fusion : 419,527 °C
Point d’ébullition : 907 °C
Historique du zincLe zinc est connu depuis l'Antiquité, bien qu'il n'ait alors pas été utilisé à l'état pur. L'isolation de ce métal est à mettre au crédit d'Anton von Swab en 1742, ainsi que d'Andreas Marggraf, qui l'a réussie de son côté quatre ans plus tard.Propriétés du zincLe zinc pur se présente sous la forme d'un métal bleu-gris. Il est capable de se combiner avec l'oxygène et autres non-métaux. L'action des acides dilués sur le zinc dégage du dihydrogène. Son état d'oxydation est +2. Avec différents éléments ambiants, la surface du zinc réagit et forme une patine qui ternit son éclat mais qui est adhérente et protectrice.Utilisation du zincL'une des principales applications du zinc est en dépôt sur les aciers pour les protéger de la corrosion : c'est la galvanisation, dont les produits sont exploités dans l'automobile, l'électroménager ou encore les équipements industriels. Le laiton est préparé avec du cuivre et du zinc. Certains bronzes contiennent également du zinc.Certaines pièces de monnaie sont frappées en zinc : ce fut le cas pendant la Seconde guerre mondiale. Les toitures sont parfois recouvertes de zinc. Ce métal possède aussi des propriétés cicatrisantes et anti-inflammatoires.Effets du zinc sur la santéLe zinc est un élément nécessaire à la santé humaine. La carence en zinc provoque une perte d'appétit, une diminution des sensations de goût et d'odeur et un ralentissement de la cicatrisation des blessures. L’excès de zinc peut être à l'origine de crampes d'estomac, de vomissements ou encore d'anémie. À très haute dose, le pancréas peut être endommagé. De même, le métabolisme des protéines est altéré.

Zinc

La bauxite fait partie de la famille des roches sédimentaires. Elle se présente avec des couleurs et des structures assez diverses et variées. La bauxite peut ainsi prendre des teintes blanches, rouges ou grises, qui dépendent de sa teneur en oxydes de fer et en alumine (Al2O3). C’est d’ailleurs de ces roches que sont extraits l’aluminium et le gallium.Formation de la bauxiteLa bauxite est issue de l’altération des roches argileuses composant la croûte continentale, en particulier sous climat tropical chaud et humide. Il s’agit d’une altérite, c’est-à-dire une roche sédimentaire qui se forme de façon superficielle et in situ par altération physico-chimique de roches-mères déjà présentes, sans qu’il y ait transport ni remaniement notable. En contexte tropical, les minéraux de la roche-mère vont ainsi se transformer sur place par le biais de différentes réactions chimiques (hydrolyse, oxydation, dissolution) pour former un nouveau niveau superficiel de bauxite. La bauxite est ainsi principalement composée d’hydrates d’alumine, de kaolinite, de silice et d’oxydes de fer, en proportions cependant très variables.La bauxite est riche en aluminium et en oxydes de fer. © USGS, Wikimedia Commons, domaine publicLa bauxite doit son nom à la commune des Baux-de-Provence dans les Bouches-du-Rhône, où elle a pour la première fois été caractérisée par le chimiste Pierre Berthier, en 1821. Suite à cette découverte, le département du Gard devient rapidement le premier site industriel au monde à produire de l’aluminium à partir de ce minerai qu’est la bauxite. La bauxite des Baux-de-Provence s’est formée durant le Crétacé, alors que la région connaissait un climat tropical.Utilisation de la bauxitePour être considérée comme minerai d’aluminium, cette roche doit cependant respecter certains critères. Sa teneur en silice ne doit ainsi pas dépasser le seuil des 8 %. Si la roche contient trop de silice, les hydrates d’alumines deviennent en effet instables et vont entrer dans la formation de la kaolinite. Cette argile est d’ailleurs généralement retrouvée en plus grande concentration à la base et au sommet des couches de bauxite.En plus de l’aluminium, la bauxite est également utilisée pour la production de gallium, un métal dont le point de fusion est très bas (moins de 30 °C) et qui est utilisé dans la fabrication de matériaux semi-conducteurs.Avec une demande croissante en aluminium, l’exploitation de la bauxite ne cesse d’augmenter. Récemment, elle a été considérée comme l’une des matières premières critiques pour l’économie européenne.La bauxite a la particularité de pouvoir se liquéfier dans certaines conditions, ce qui rend son transport par bateau compliqué. Plusieurs navires ont ainsi coulé suite à ce phénomène de liquéfaction.

Bauxite

Le terme « minerai » désigne une roche, un minéral ou une association de minéraux contenant un ou plusieurs éléments chimiques utiles en teneurs suffisamment importantes pour permettre leur exploitation. La sphalérite constitue par exemple un minerai de zinc. Ce terme provient du latin « minera » qui signifie « mine ». Il a d'ailleurs une signification plus économique que géologique.
 Pilbara est l'une des neuf régions d'Australie-Occidentale. On y trouve la plus grande partie du minerai de fer (iron ore, en anglais) australien autour des villes de Tom Price et Newman. Cette vidéo montre l'exploitation de ce minerai. © meglinsky, YouTube
Les gisements de minerais ne sont pas inépuisables. De nombreuses technologies avancées dépendent des quantités de certains métaux qui se raréfient si l'on en croit des chercheurs et des ingénieurs du Cnrs. Une solution possible à long terme est l'exploitation des richesses minières des astéroïdes.
Minerais métallifères
La plupart des minerais métallifères sont :
des oxydes (exemple : la bauxite pour l'aluminium) ;
des sulfures (exemples : la galène pour le plomb, la sphalérite pour le zinc) ;
des carbonates (exemple : la malachite pour le cuivre) ;
des silicates (exemple : la garniérite pour le nickel).

Minerai

Le nombre de protons contenus dans un noyau (appelé numéro atomique) est caractéristique d'un élément chimique. Pour un numéro atomique donné, le nombre de neutrons définit différents "types" de cet élément : des isotopes. La variation du nombre de protons du noyau d'un atome, lors d'une réaction nucléaire par exemple, entraîne un changement de l'élément étudié.

Numéro atomique

On appelle élément chimique l’ensemble des entités – atomes ou ions – qui présentent le même nombre Z de protons dans leur noyau. Nous connaissons aujourd’hui 118 éléments chimiques différents dont 94 existent à l’état naturel sur Terre.
Ainsi, par exemple, le cuivre (Cu) et l’ion cuivre II (Cu2+) sont deux entités de l’élément cuivre. Elles partagent les mêmes propriétés chimiques.
Des entités différentes d’un même élément chimique peuvent avoir un nombre inégal de neutrons. On les appelle alors des isotopes.
Réactions entre éléments chimiques
Les éléments peuvent se combiner au cours de réactions chimiques pour former des corps simples ou des corps composés.
En revanche, un élément chimique ne peut se transformer en un autre élément chimique que s’il subit une réaction nucléaire de transmutation. C’est d’ailleurs à partir de réactions nucléaires successives que s'est créé, au cœur des étoiles, l’ensemble des éléments chimiques.
Symboles des éléments chimiques
Chaque élément chimique est représenté par un symbole : H pour l’hydrogène, C pour le carbone ou encore Na pour le sodium. Les éléments chimiques sont classés dans le tableau périodique des éléments encore appelé « tableau de Mendeleïev », du nom du chimiste russe qui l’a imaginé dès 1869.

Élément chimique

Parmi les huit planètes du Système solaire, la Terre est l’une des quatre planètes telluriques, solides, de composition (roches silicatées et fer) et de densité moyenne voisines (entre 3,9 pour Mars et 6,1 pour Mercure), la densité moyenne de notre planète étant de 5,52.
Structure du globe terrestre
La densité des roches superficielles, égale à 2,7, très différente de celle de la Terre dans son ensemble, a conduit à conjecturer une composition variant avec la profondeur. En combinant la nature surtout granitique des roches de surface, celle, surtout basaltique, des roches issues des magmas rejetés par les volcans et la composition en fer et nickel de la majorité des météorites, on en vint à l’hypothèse d’une composition en trois enveloppes emboîtées. On distingua ainsi le sial — de silice et aluminium — pour la surface, le sima — de silice et magnésium —, au-dessous, jusqu’au nife — de nickel et fer —, au centre de la Terre, en un arrangement qui rend compte de la densité globale de la planète. Au début du XXe siècle, Alfred Wegener usera de cette conception avant qu’elle n’évolue vers celle de croûte-manteau-noyau.
La sismologie allait donner une mesure de ces trois enveloppes. La discontinuité de Mohorovičić, ou Moho, vers 30 kilomètres de profondeur en moyenne, marquée par la réflexion et la réfraction des rais sismiques, constitue la frontière entre la croûte et le manteau terrestre. La discontinuité de Gutenberg, vers 2.900 km de profondeur, est la limite entre le manteau et le noyau. Toutes deux portent le nom de leur découvreur (le Croate Andrija Mohorovičić et l’Allemand Beno Gutenberg), depuis 1909 pour la première, et 1921 pour la seconde. Ultérieurement, la croûte fut divisée en une croûte supérieure et une croûte inférieure, séparées par une discontinuité de Conrad, souvent discutée, tandis qu’une graine était individualisée au centre du noyau, au-delà de 5.000 km de profondeur.
La croûte fit l’objet de précisions essentielles. D’une part, la croûte océanique est différente de la croûte continentale, comme le montra Gutenberg en 1921. La première est basaltique, la seconde granitique, du moins en moyenne. D’autre part, la croûte continentale s’épaissit sous les chaînes de montagnes en une racine qui peut atteindre 70 km d’épaisseur sous la cordillère des Andes du Pérou et de Bolivie.
Une étude plus fine des vitesses de transmission des ondes sismiques dans les parties superficielles — menée dans l’archipel des Tonga, dans le sud-ouest du Pacifique, par Jack Oliver et Bryan Isacks en 1967 — allait permettre de séparer les milieux solides des milieux visqueux, les premiers conduisant les ondes sismiques plus rapidement que les seconds. Ainsi furent distinguées la lithosphère, solide, comprenant sur 100 km d’épaisseur moyenne la croûte et le manteau supérieur, et l’asthénosphère, visqueuse, correspondant au reste du manteau. Ces distinctions, qui englobent celles de croûte et de manteau, mais avec des limites différentes, constituent les fondements de la tectonique des plaques.
Puis l’application des méthodes de sismique-réflexion à écoute longue, adaptées de la sismique pétrolière, apporta des précisions sur la structure de la croûte. On citera le programme américain Cocorp (Consortium for Continental Refraction Profiling), qui eut de nombreux équivalents, dont le programme français Écors (Étude des continents et des océans par réflexion sismique).
Enfin, les progrès accomplis dans l’étude de la propagation des ondes sismiques ont permis de distinguer dans le manteau des zones chaudes, à vitesse lente, et des zones froides, à vitesse plus rapide. Cette tomographie du manteau, en trois dimensions, a ainsi authentifié la conception des courants de convection, ascendants au niveau des rides (médio)océaniques, où remonte le matériel chaud du manteau inférieur, et descendants à la périphérie des océans, où s’enfonce la lithosphère froide. Tandis que des points chauds (hot spots), dispersés à la base du manteau, déterminent des ascendances permanentes qui sont à l’origine d’un volcanisme continu.
Vue complète de la partie éclairée de la Terre par le satellite DSCOVR. © Nasa
Composition chimique de la Terre
Le deutérium, le lithium et le béryllium terrestres ont probablement été formés dans la Galaxie par action des rayons cosmiques galactiques sur le milieu interstellaire, dans la période précédant la formation du Système solaire. De la même façon, les éléments radioactifs (par exemple l’uranium ou le thorium) ont été produits par une ou plusieurs explosions de supernovae dans la Galaxie, avant la formation du Soleil. Un certain nombre d’anomalies d’abondance s’expliquent simplement par évaporation de composés volatils au cours de la formation des planétésimaux.
L’atmosphère terrestre primitive, créée en milieu réducteur, devait essentiellement consister en méthane, ammoniac et vapeur d’eau. Sa composition actuelle résulte d’une part de la dissociation de ces molécules par le rayonnement solaire, suivie de l’évaporation de l’hydrogène et des réactions subséquentes d’oxydation, d’autre part de plusieurs milliards d’années de phénomènes biologiques (assimilation chlorophyllienne) conduisant à la production d’oxygène. Certains éléments, l’hélium notamment, proviennent simplement du broyage par érosion des roches radioactives.
Fiche signalétique
Masse (kg) : 5,976 x 1024Masse (Terre = 1) : 1Rayon équatorial (km) : 6.378,14Rayon équatorial (Terre = 1) : 1Masse volumique moyenne (g/cm3) : 5,515Satellites : 1Distance moyenne du Soleil (km) : 149.600.000Distance moyenne du Soleil (Terre = 1) : 1Période de rotation (jours) : 0,99727Période de rotation (heures) : 23,9345Période orbitale (jours) : 365,256Vitesse orbitale moyenne (km/s) : 29,79Excentricité de l’orbite : 0,0167Inclinaison de l’axe (°) : 23,45Inclinaison de l’orbite (°) : 0Vitesse d’échappement à l’équateur (km/s) : 11,18Gravité de surface à l’équateur (m/s2) : 9,78Albédo géométrique visuel : 0,37Température moyenne de surface : 15 °CPression atmosphérique (bar) : 1,013Composition en volume de l’atmosphère : azote 78 %, oxygène 21 %, autres 1 %

Terre

3600_une-fractale-naturelle-de-cristal-de-gallium

L'eau se cristallise en neige par des courbes [popupdefinition id=7969]fractales[/popupdefinition]. &copy; Michael, Wikimedia Commons, CC by-sa 2.0

Le cristal de glace et ses courbes fractales

3601_le-cristal-de-glace-et-ses-courbes-fractales

La [popupdefinition id=7969]fractale[/popupdefinition] de Lyapunov utilise la notion math&eacute;matique d'exposant de Lyapunov. &copy;&nbsp;BernardH, Wikimedia Commons, CC by-sa 3.0

La fractale de Lyapunov

3602_la-fractale-de-lyapunov

Cette image a &eacute;t&eacute; cr&eacute;&eacute;e par l'[popupdefinition id=13200]application[/popupdefinition] de la fonction [popupdefinition id=7969]fractale[/popupdefinition] via le [popupdefinition id=561]logiciel[/popupdefinition] Sterling. Celui-ci a &eacute;t&eacute; d&eacute;velopp&eacute; en 1999 par Stephen C. Ferguson avec le langage de programmation C pour le [popupdefinition id=11820]syst&egrave;me d'exploitation[/popupdefinition] Microsoft Windows.&copy; Soler 97, DR

Fractale réalisée grâce au logiciel Sterling

Définition simple de système d'exploitation : Un système d'exploitation, ou logiciel système, ou Operating System (OS), est un logiciel qui, dans un appareil électronique, pilote les dispositifs matériels et reçoit des instructions de l'utilisateur ou d'autres logiciels (ou applications). Ces logiciels doivent être adaptés à un système d'exploitation.Rôles du système d'exploitationDans un ordinateur, le système d'exploitation gère le ou les processeurs ainsi que la mémoire. Il fait fonctionner les périphériques (clavier, souris, surface tactile, écran, disque dur, lecteur de DVD, lecteur de cartes mémoire...). Dans un appareil photo, il fait fonctionner les différents mécanismes, gère l'affichage de l'écran et détecte les actions de l'utilisateur. Etc.Les systèmes d'exploitation comportent aussi l'interface avec l'utilisateur. Dans un ordinateur, par exemple, c'est lui qui affichera les fenêtres et présentera le contenu des unités de stockage (disque dur, CD, DVD...).Exemples de systèmes d'exploitationsDans le secteur informatique, les systèmes d'exploitation les plus répandus sont Windows (pour les PC), Mac OS (pour les ordinateurs d'Apple), Linux (pour les PC et les serveurs) et Unix (pour les serveurs). Pour les téléphones, on trouve Android, iOS (chez Apple), Symbian et Windows Phone.Un système d’exploitation c’est quoi ?Windows, Mac OS, Linux… Connaissez-vous le point commun entre ces termes qui vous sont forcément familiers ? Exact. Ce sont des systèmes d’exploitation.En informatique, un système d’exploitation ou operating system (OS) est un groupe de programmes qui facilitent l’utilisation d’un ordinateur. Il s’agit d’un logiciel qui reçoit des sollicitations pour employer les ressources de la machine comme le disque dur pour stocker de la mémoire, ou des périphériques pour établir une communication visuelle ou auditive.Le système d’exploitation est la passerelle entre l’utilisateur, les ressources et les applications. Lorsqu’un programme est lancé, il ne communique pas directement avec un périphérique. Les instructions passent par le système d’exploitation, qui se charge de les transmettre au périphérique.Les différents systèmes disponibles sur le marché se différencient de plusieurs façons, notamment par leur caractère multitâche (capacité à exécuter plusieurs processus en même temps) et par la longueur des informations qu’ils sont capables de gérer en même temps. Cette longueur est exprimée en bits (16 à 64 bits en général, plus chez les systèmes très performants).À quoi sert un système d’exploitation ?L’OS joue aussi un rôle clé dans la gestion des ressources. Il dissocie les ressources matérielles et les programmes, afin de mettre à disposition de l’utilisateur une interface plus simple, plus intuitive et plus facile à manier. Cette gestion se décline en plusieurs volets.A l’aide d’un algorithme, le système d’exploitation gère l’allocation du processeur, le cerveau de la machine. Il intervient aussi dans la gestion de la mémoire vive, qui est limitée. Lorsqu’un manque d’espace libre est constaté, il crée des espaces libres appelés mémoire virtuelle.L ’OS agit également sur le lancement et l’exécution des applications, en s’assurant que tous les ingrédients nécessaires à leur fonctionnement soient réunis et en éliminant celles qui présentent un dysfonctionnement.Son rôle s’étend à la gestion des fichiers (lecture, écriture et accès), des informations, des entrées et des sorties. Les systèmes d’exploitation les plus utilisés sont Windows (3.1 / 95 / 98 / 2000 / XP / 7 / 10), Mac OS X et Linux.Comment fonctionne un système d’exploitation ?Le système d’exploitation est un ensemble de logiciels composé d’un noyau, le cœur de ce complexe qui réalise toutes les tâches qui lui sont attribuées. La communication entre l’utilisateur et l’OS est assurée par l’interprétateur de commande, parfois surnommé « coquille » (shell en anglais). Il renferme également un système de fichiers.Les systèmes d’exploitation multitâches présentent un grand intérêt pour les professionnels, notamment dans le cadre du travail collaboratif. Plusieurs utilisateurs peuvent utiliser la même machine sans avoir l’impression que d’autres personnes sont connectées et peuvent, elles aussi, réaliser des actions.Pour jouer son rôle de passerelle entre l’utilisateur et les applications, l’OS a emploie des pilotes matériels. Lorsqu’on parle d’OS, on pense d’emblée aux ordinateurs, aux tablettes et aux smartphones (systèmes d’exploitation mobile). Ces groupes de logiciels sont également présents dans les consoles, dans les téléviseurs modernes, dans les routeurs Wi-Fi et dans les montres intelligentes (smartwatch).

Système d’exploitation

Correspondance mathématique entre un ensemble de départ (ou objet ou source) et un ensemble d'arrivée (ou image ou but) telle que chaque élément de l'objet est en relation à un unique élément de l'image. Si A est un ensemble objet et B un ensemble image, pour noter que l'élément a de A est relié à l'élément b de B par l'application f, on écrit b=f(a).

Application

3603_fractale-realisee-grace-au-logiciel-sterling

La [popupdefinition id=2234]coquille[/popupdefinition] en spirale du nautile (ou Nautilus) est un tr&egrave;s bel exemple de [popupdefinition id=7969]fractale[/popupdefinition] naturelle.&copy; Anvitel, DR

La coquille en spirale du nautile, une fractale naturelle

Enveloppe dure, calcaire, constituant le squelette externe de la plupart des mollusques et des brachiopodes.
Oiseaux : Enveloppe externe calcifiée de l'oeuf.

Coquille

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Tout comme notre r&eacute;seau sanguin, nos [popupdefinition id=4254]alv&eacute;oles pulmonaires[/popupdefinition] sont le produit d'un chaos organis&eacute;.&copy; Anvitel, DR

Le réseau pulmonaire, une organisation fractale

Les alvéoles pulmonaires appartiennent au système respiratoire.
Fonction des alvéoles pulmonaires
Les alvéoles pulmonaires sont situées au plus profond des poumons, aux extrémités des bronchioles, et sont la structure de base où se réalisent les échanges gazeux entre l’organisme et l’air extérieur.
Les pneumocytes de type 2 sécrètent le surfactant, le liquide visqeux permettant de diminuer la tension de surface des alvéoles pour éviter qu’elles ne s’effondrent sur elles-mêmes pendant la phase d’expiration. Des macrophages sont aussi présents pour assurer l’immunité du poumon.
Structure des alvéoles
Situés au bout des bronchioles, les alvéoles sont de petits sacs (0,1 millimètres) aux parois très minces pour faciliter les échanges gazeux (0,2 micromètres).
Les alvéoles sont composés de pneumocytes membraneux (type 1) et granuleux (type 2). 
Il y en a 300 millions par poumon, montant à 130 mètres carrés la surface totale des échanges gazeux des poumons. Ils sont entourés de capillaires qui apportent le sang pauvre en oxygène et qui renvoient vers le cœur le sang réoxygéné.

Alvéole pulmonaire

3605_le-reseau-pulmonaire--une-organisation-fractale

Ces jolies [popupdefinition id=7969]fractales[/popupdefinition] t&eacute;tra&eacute;driques de [popupdefinition id=1422]calcaire[/popupdefinition] ont &eacute;t&eacute; trouv&eacute;es sous [popupdefinition id=4725]terre[/popupdefinition], en Dordogne. &copy; S&eacute;mhur, Wikimedia Commons, CC by-sa 4.0

Des fractales de calcaire

Le calcaire est une roche sédimentaire carbonatée, composée d'au moins 50 % de calcite CaCO3 (ou carbonate de calcium) et pouvant contenir de la dolomite, de l'aragonite. Les calcaires se forment soit par accumulation de fragments de squelettes ou de coquilles calcaires (coraux, bivalves, foraminifères...), soit par précipitation chimique ou biochimique de carbonates de calcium. 
Les roches calcaires sont classées en fonction :
des fossiles contenus : calcaire coquiller, calcaire à ammonites…de la structure de la roche : par exemple, les calcaires oolithiques sont formés de petites sphères,de leur grain : le calcaire lithographique utilisé en imprimerie possède un grain très fin, la craie est elle aussi un calcaire au grain très fin,des impuretés présentes : les calcaires purs contiennent une proportion élevée de calcite, tandis que les calcaires siliceux contiennent plus de silice et les calcaires dolomitiques plus de dolomite ; la marne est un mélange de calcaire et d’argile,de leur lieu de dépôt : calcaire marin, lacustre ou récifal.
Roches calcaires et reliefs karstiques
La calcite du calcaire est attaquée par des molécules acides présentes dans l’eau. L’érosion du calcaire conduit à la formation de roches et de structures caractéristiques :
dans les calcaires siliceux se forment des meulières, des roches très résistantes utilisées dans les meules à grain. Le dépôt de silice dans des roches calcaires peut conduire à la formation de silex ; ces roches ont été utilisées par les hommes préhistoriques pour la fabrication d’outils comme les bifaces,dans les calcaires purs et résistants se forment des structures typiques du milieu karstique. Par exemple, la doline est une dépression circulaire à fond plat que l’on trouve dans les Causses ; un aven est un entonnoir caractéristique d’un gouffre ; un canyon décrit une vallée très encaissée ; une vallée sèche a été construite par un cours d’eau disparu,le relief karstique présente aussi souvent des structures souterraines : siphons, galeries, grottes, stalactites, stalagmites, rivières et lacs souterrains…

Calcaire

3607_des-fractales-de-calcaire

Ce paysage de r&ecirc;ve a &eacute;t&eacute; mod&eacute;lis&eacute; &agrave; partir d'un algorithme. Un ensemble de Julia a ainsi &eacute;t&eacute; transform&eacute; en [popupdefinition id=12211]atoll[/popupdefinition] au moyen du [popupdefinition id=561]logiciel[/popupdefinition] Terragen. &copy; Alexis Monnerot-Dumaine, Wikimedia Commons, CC by-sa 3.0

Un ensemble de Julia transformé en île imaginaire

Un atoll est une île corallienne basse présentant une forme annulaire et abritant un lagon, souvent de faible profondeur, en son centre. 
Il se compose d’un récif barrière et de plusieurs motus, les terres émergées, formés suite à une accumulation de matériel d’origine détritique derrière les coraux. Le récif peut être interrompu par une ou plusieurs passes permettant au lagon de communiquer avec le milieu extérieur. 
Ces structures s’observent dans les mers chaudes et donc tropicales. En effet, la température de l’eau doit permettre une croissance optimale des coraux. Ils ont d’ailleurs besoin en plus de lumière et d’oxygène. 
Formation d’un atoll
La formation d’un atoll débute par l’apparition d’une île, bien souvent d’origine volcanique. Un récif corallien se développe alors sur ses côtes à faible profondeur, là où la lumière est présente en suffisance. Ce type de récif est dit frangeant. 
Dans un deuxième temps, l’île commence progressivement à s’enfoncer en raison de divers phénomène liés à la tectonique des plaques, notamment suite à une augmentation de la densité de la lithosphère océanique, sur laquelle l'île repose, au fur et à mesure qu’elle s’éloigne de sa dorsale. Si les coraux sont en bonne santé, ils poursuivent leur croissance verticalement afin de se rapprocher de la surface et donc de la lumière. Un lagon apparaît entre l’île, dont la surface diminue, et le récif dit barrière. C’est le second stade de formation d’un atoll.
Finalement, le volcan finit par disparaître. Seul reste apparent le récif qui le bordait et le lagon en son centre. C’est le stade atoll à proprement parler.

Atoll

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Tels que d&eacute;crits par Gaston Julia, les ensembles de Julia sont des [popupdefinition id=7969]fractales[/popupdefinition], des sous-ensembles du plan complexe associ&eacute;s au comportement dynamique d'une fonction holomorphe. &copy; Eequor, Wikimedia Commons, DP

Les ensembles de Julia, des fractales somptueuses

3609_les-ensembles-de-julia--des-fractales-somptueuses

La [popupdefinition id=7969]fractale[/popupdefinition] de Mandelbrot, du nom du p&egrave;re de la g&eacute;om&eacute;trie fractale,&nbsp;est la plus c&eacute;l&egrave;bre. &copy; BernardH, Wikimedia Commons, DP

La fractale de Mandelbrot

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Cette [popupdefinition id=15213]masse[/popupdefinition] aux courbes lumineuses et aux inflexions turbulentes repr&eacute;sente une [popupdefinition id=986]nova[/popupdefinition].&copy;&nbsp;Danwills, DR

Une nova fractale

La masse est une propriété physique fondamentale d’un corps. Elle rend compte, dans une bonne approximation, de la quantité de matière contenue dans ce corps indépendamment de l’endroit où il se trouve.L'unité de la masse : le kilogrammeLa masse se représente par le symbole m et, dans le Système international, son unité est le kilogramme (kg).Il existe en réalité, deux types de masse :la masse d’inertie qui indique la résistance qu’un corps oppose à une modification de son mouvement sous l’action d’une force ;la masse gravitationnelle, relative à la gravitation à laquelle le corps est soumis.Dans les faits, ces deux grandeurs sont équivalentes. L’expérience a montré en effet qu’elles étaient égales à 10-12 près.Entre 1889 et 2019, le kilogramme était défini comme la masse de l’étalon mille grammes en Platine-Iridium, ici en image de synthèse. Mais des questions de précision et de stabilité de l’étalon ont poussé les scientifiques à se tourner vers la constante de Planck. © astrosystem, Adobe StockNe pas confondre masse et poidsSi, dans la vie courante, la confusion ne prête pas à conséquence, il est de bon ton pour tout apprenti physicien de bien faire la différence entre poids et masse.Le poids, également appelé « masse gravitationnelle », exprime la force de gravitation qu’un corps exerce sur un autre. Ainsi le poids varie selon l’endroit dans lequel on place le corps en question. Sur la Lune, un corps présentera un poids six fois moindre que sur la Terre. L’unité de poids est le Newton (N).Masse et poids sont liés par la relation suivante :poids = masse x goù g représente l’accélération de la pesanteur en un lieu donné

Masse

À la fin du XVIe siècle, les astronomes Tycho Brahe et Johaness Kepler introduisirent le terme de nova stella, qui veut dire « étoile nouvelle » en latin, pour qualifier l’apparition transitoire de nouvelles étoiles sur la voûte céleste. Cependant, il fallut attendre les développements de l’astrophysique au XXe siècle pour que l’on commence à comprendre ce qui se cachait derrière ces curieux phénomènes, des explosions thermonucléaires colossales avec des étoiles, et que l’on fasse la distinction entre les novae et les supernovae.
Quelle différence entre nova et supernova ?
Ainsi, à la différence des supernovae, les novae sont des explosions qui ne conduisent pas (ou rarement) à la destruction de l’étoile progénitrice ou qui ne produisent pas une étoile à neutrons ou un trou noir. Dans le cas d’une nova, tout commence avec une naine blanche dans un système binaire qui accrète de l’hydrogène en provenance de son étoile compagne, souvent en phase de géante rouge, jusqu'à ce que la pression et la température en surface deviennent suffisantes pour enclencher une réaction de fusion thermonucléaire explosive.
La luminosité de l’étoile est alors multipliée par 10.000 pendant quelques jours. Le processus peut se répéter : on sait par exemple que RS Ophiuchi a explosé six fois en un siècle. Les novae sont donc récurrentes.
Qu'est-ce qu'une nova naine ?
À noter que ce que l'on appelle une nova naine, qui est moins lumineuse qu'une nova classique et a fortiori qu'une supernova, est plutôt une étoile variable cataclysmique du type U Geminorum. Dans ce cas, ce sont surtout des variations de la luminosité dues au processus d'accrétion sur la naine blanche qui sont en cause et pas des explosions.

Nova

3611_une-nova-fractale

Ces montagnes imaginaires sont un terrain fractal r&eacute;alis&eacute; &agrave; partir de bruit de Perlin. &copy; Stevo-88, Wikimedia Commons, DP

Terrain fractal réalisé à partir de bruit de Perlin

3612_terrain-fractal-realise-a-partir-de-bruit-de-perlin

Le triangle de Sierpinski s'obtient &agrave; partir d'un triangle plein puis d'une infinit&eacute; d'it&eacute;rations (ou pliage) qui consiste &agrave; diviser par deux la taille du triangle puis &agrave; en juxtaposer trois exemplaires par leurs sommets pour former un nouveau triangle. Ce triangle se fait donc grignoter de l'int&eacute;rieur par son algorithme.&copy; Nevit

Le triangle de Sierpinski

3613_le-triangle-de-sierpinski

De m&ecirc;me que nos [popupdefinition id=4254]alv&eacute;oles pulmonaires[/popupdefinition], les vaisseaux sanguins sont le produit d'un chaos organis&eacute;. &copy; Patho

Les vaisseaux sanguins et leur structure fractale

3614_les-vaisseaux-sanguins-et-leur-structure-fractale

Art fractal

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La beauté de l'art fractal

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Benoît Mandelbrot est né le 20 novembre 1924 à Varsovie, au sein d’une famille juive, d’une mère dentiste et d’un père commerçant. Les affaires de ce dernier périclitant en raison du contexte économique, il émigra en France en 1931, dans l’espoir d’y trouver une meilleure situation et d’y faire venir sa famille plus tard, l’antisémitisme devenant de plus en plus inquiétant en Pologne. Ceci impliquait que la mère de Mandelbrot abandonne son métier et ses revenus, aussi le regroupement ne devint effectif qu’en 1936. Mandelbrot apprit donc le français à l’école à Paris et ne découvrit qu’au lycée qu’il parlait en fait le « parisien » de Belleville, très différent du français académique !
Après l’invasion de la France par l’armée allemande en 1939, la famille se réfugia en zone non occupée à Tulle où il obtint le baccalauréat avec la mention très bien et les félicitations du jury. Mais en 1943 la situation devenant très menaçante, Mandelbrot et son frère partirent avec de faux papiers pour Périgueux, puis avec encore une nouvelle identité à Lyon, où il termina ses études secondaires en classe préparatoire aux grandes écoles.
Le choix entre l'ENS et Polytechnique
La famille retrouva Paris en 1944 après la libération de la ville et Mandelbrot eut à choisir entre l’École normale supérieure (ENS) et Polytechnique après avoir passé le concours des grandes écoles où il fut le seul à résoudre complètement le très difficile problème de mathématique qui avait même tenu en échec son professeur. Sur les conseils de son oncle Szolem Mandelbrojt, mathématicien au Collège de France et cofondateur du groupe Bourbaki il choisit l’École normale… et y resta un seul jour dès qu’il eut compris qu’on y révérait le formalisme mathématique abstrait du style Bourbaki.
Il entra alors à Polytechnique, école militaire dont il porta l’uniforme militaire bien qu’il ne fut pas encore naturalisé. Il y eut entre autres comme professeurs Gaston Julia et Paul Lévy, deux noms qui eurent une influence marquante sur ses propres travaux. Il est d’ailleurs amusant que Szoltem Mandelbrojt ait suggéré à son neveu de prolonger pour sa thèse les travaux de Fatou et Julia sur l’itération des fonctions rationnelles, et que celui-ci abandonna le sujet dans l’incapacité, à l’époque, d’y ajouter quelque chose !
À sa sortie de Polytechnique, Mandelbrot partit deux ans en stage au California Institute of Technology puis il rentra en France en 1949 pour y faire son service militaire.
La formule de Zipf-Mandelbrot 
Entre 1950 et 1952 il fait une thèse de mathématiques appliquées qu’il juge faible et mal rédigée sur un sujet qu’il a choisi et qui n’intéresse personne, à partir d’une formule empirique de Zipf décrivant la fréquence d’utilisation des mots dans les textes. Zipf avait remarqué qu’on observait la même fréquence de distribution quel que soit le degré d’instruction ou la langue du rédacteur. Si les graphiques de Zipf étaient pertinents, Mandelbrot montre que la formule était fausse et la transforme en formule de Zipf-Mandelbrot. C’est le premier contact de Mandelbrot avec les distributions « à longue traîne », très différentes des statistiques habituelles, et avec la notion d’invariance. Plus audacieusement il établit un lien un peu acrobatique avec la thermodynamique statistique par le biais du concept d’information. D’emblée Mandelbrot veut se positionner comme mathématicien atypique et indépendant de toute école.
Il effectue en 1953-1954 des stages post-doctoraux au MIT où il s’intéresse beaucoup aux travaux de Norbert Wiener puis à Princeton avec John von Neumann ; Oppenheimer s’intéresse également à ses travaux.
Plus de trente ans chez IBM
Il revient en France en 1954 avec un poste au CNRS, puis passe deux ans à Genève où il collabore avec Jean Piaget. Il obtient ensuite un poste à l’université de Lille en 1957, mais ne l’occupera qu’une année universitaire. En effet en 1958 il part aux États-Unis pour un stage d’été chez IBM… et y restera 35 ans, au Thomas J. Watson Research Center !
C’est chez IBM que se déroulera l’essentiel de sa carrière avec en parallèle dix-sept années d’enseignement à l’université Yale après des collaborations de courte durée avec les universités de Chicago, d’Harvard et le MIT. Il y accomplira l’essentiel de ses travaux.
Son premier domaine de recherche concernait les statistiques théoriques de la distribution des revenus en s’inspirant de la loi de Pareto. Il découvrit rapidement qu’une distribution du même type expliquait les cours boursiers. Pour ces derniers il démontrait que les variations à long terme présentaient la même distribution aléatoire que les variations à court terme. On retrouve là le concept d’auto-similarité qui est au cœur des fractales. Ceci était en opposition absolue avec les théories économiques orthodoxes pour lesquelles les variations à court terme sont aléatoires et les variations à long terme représentent des tendances. En outre ces théories, fondées sur la loi normale, considèrent que les variations sont d’autant moins probables que leur amplitude est plus importante. Au contraire selon la théorie de Mandelrot, développée en utilisant des travaux de statistique théorique peu connus de Paul Lévy, les variations brutales et imprévisibles sont beaucoup plus fréquentes que ce que prévoient les théories orthodoxes.
Il s’intéresse ensuite à la turbulence, aux variations du régime des crues, aux irrégularités dans les lignes des côtes, et dès 1960, alors qu’IBM ne disposait encore d’aucun outil graphique il commence à percevoir l’importance des simulations graphiques pour ses travaux de mathématiques appliquées. Il ne cessera de chercher à utiliser les moyens plus perfectionnés progressivement disponibles.
L’originalité de Mandelbrot est d’avoir vu des points communs profonds dans tous ces processus qu’il étudie. L’autre, qu’il va développer progressivement c’est l’utilisation graphique des ordinateurs pour l’aide à l’étude de problèmes théoriques, en opposition totale avec les pratiques des autres mathématiciens.
Benoît Mandelbrot et les fractales 
Le mot fractal date de 1975 et a été créé par Mandelbrot pour son livre Les objets fractals afin de désigner les propriétés communes de tous les processus et structures qu’il a étudiés. Puis il s’intéresse à des sujets de mathématiques pures et revient sur les travaux de Julia et Fatou qui lui avaient résisté jadis. En 1980 il obtient la représentation graphique de l’ensemble des ensembles (ce n’est pas une répétition accidentelle) de Julia et Fatou et il en étudie les propriétés fractales. Il semble toutefois qu’il ait été un peu précédé en 1978 par Brooks et Matelski qui avaient publié une représentation grossière mais correcte sur une imprimante alphanumérique. Cet ensemble sera ensuite étudié de façon très théorique par Douady et Hubbard qui le nommeront Ensemble de Mandelbrot.
Mandelbrot devient alors célèbre et œuvre à la diffusion de la géométrie et des mathématiques fractales qui intéressent de plus en plus de monde dans des domaines très divers, qu’il s’agisse de travaux théoriques, appliqués ou artistiques. Il multiplie les conférences et termine sa carrière comme professeur émérite à Yale (1987-2004). Il décède en 2010 à Cambridge (Massachusetts).
L’impression qui se dégage de son livre autobiographique La forme d’une vie est celle d’un esprit brillant, extrêmement doué, touche-à-tout et qui s’est toujours considéré comme un franc-tireur à l’écart de tout courant ou école mathématique. Il aurait certainement pu produire des travaux théoriques très profonds s’il n’avait pas manifesté d’emblée manifesté une allergie pour le formalisme abstrait de certaines mathématiques, en particulier de l’école Bourbaki, préférant au contraire les approches plus géométriques et visuelles aux approches formelles et analytiques.
Cependant son aptitude à voir des propriétés communes dans les domaines très différents qu’il a abordés ainsi que dans divers travaux antérieurs que rien ne reliait en apparence, et son intérêt pour des approches probabilistes non conventionnelles ont produit une œuvre fructueuse, même si son coup de pied dans la fourmilière de l’économie théorique ne semble pas, hélas, avoir servi de leçon malgré l’écho qu’a eu ce travail à l’époque dans certains milieux.