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La géométrie des nombres : nombres naturels et fractions

Dossier - Initiation à la géométrie
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Les mathématiques comprennent la géométrie, science qui étudie les surfaces, les droites, les points... Des nombres réels à la symétrie, en passant par la géométrie des nombres, ce dossier propose une initiation ludique à la géométrie.

  
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Bien que son théorème soit de nature géométrique, la plus grande gloire de Pythagore repose sur ses découvertes en théorie des nombres. Un problème lancinant était le calcul de la longueur de la diagonale d'un carré de côté unité.

Cercle et fractions. © David C. Rehner - Shutterstock

Les Babyloniens avaient calculé cette longueur avec six décimales, mais les Pythagoriciens savaient que ce n'était qu'une approximation. Quelle était la valeur exacte ? Pythagore montra que ce ne pouvait être une fraction.

Pythagore est connu pour ses découvertes en théorie des nombres. © Skies, Wikipédia CC by sa 3.0

Les nombres naturels

La première preuve d'une comptabilité est l'os d'Ishango qui serait vieux de plus de vingt mille ans. Une série d'encoches le long de sa longueur montre qu'il était utilisé pour décompter quelque chose, et la façon dont les encoches sont groupées indique que leurs utilisateurs les utilisaient pour un calcul. Quelle que soit la nature de l'os d'Ishango, l'idée d'associer un objet du monde (une encoche) à un objet mathématique est le fondement du calcul.

Nous apprenons à compter en disant des noms de nombres - un, deux, trois - en même temps que nous désignons des objets. Il nous semble si naturel de compter ainsi que ces nombres entiers sont quelquefois dénommés naturels. Avec le temps, 
les mathématiciens créèrent d'autres nombres. Ils inventèrent d'abord 
un nombre qui n'existait pas dans 
le monde des objets, le zéro, 
et désignèrent par nombres entiers l'ensemble : 0, 1, 2, 3, 4, 5... 
Ils inventèrent ensuite les nombres négatifs ; l'ensemble des nombres entiers et des nombres positifs constitue les nombres relatifs.

Les entiers peuvent être figurés par 
un nombre de haricots ou de cailloux. Comment figurer les nombres négatifs ? Marquer les entiers sur une droite comme représenté ci-dessous est un bon moyen car on allie la géométrie à l'arithmétique. Les mathématiciens ont longtemps utilisé seulement les entiers. Ils pouvaient calculer 3 × 4 + 7, et même
 7 - 53 en utilisant les nombres négatifs. La division 12 : 4 donne un nombre entier, mais pas 4 : 12.

L'invention des fractions

Les mathématiciens inventèrent les fractions pour les calculs qui étaient impossibles avec seulement les nombres entiers comme dans l'opération 4 : 12. Heureusement les fractions, c'est-à-dire les nombres rationnels, peuvent être marqués sur la droite graduée. S'il y a des espaces vides entre les entiers sur la droite graduée, par exemple entre 1 et 2, les rationnels semblent, au contraire, ne laisser aucun espace vide et bien remplir toute la droite. Si nous prenons deux nombres, aussi proches soient-ils, nous pouvons toujours insérer un troisième nombre entre eux. Prenons par exemple 143 : 560 et 144 : 560. Vous pouvez insérer entre eux le nombre 143,5 : 560 (ou 287 : 1120 si vous n'aimez pas les fractions qui ont un numérateur 
non entier). Ces insertions peuvent se poursuivre à l'infini ; il semble que la droite soit remplie de nombres et qu'il est impossible d'en insérer de nouveaux. C'est ce que la logique nous incite à croire. Or Pythagore montra qu'il n'en était rien, et que de nouveaux nombres peuvent toujours être insérés.