Nombre de Mersenne : qu'est-ce que c'est ?

Catégorie de nombres étudiés par le moine Marin Mersenne (1588-1648) et par Pierre de FermatPierre de Fermat (1601-1665), et définis par : M_q = 2^q - 1 où q est un nombre premiernombre premier.

Chaque nombre de Mersenne premier permet de construire un nombre parfait pair 2^q-1 M_q , égal à la somme de ses diviseurs (exemple : 6 = 2¹(2²-1) = 1+2+3).

Il est possible de prouver qu'un nombre de Mersenne est premier grâce au test inventé par Edouard Lucas (1842-1891) et prouvé rigoureusement par DerrickDerrick Lehmer (1905-1991) : le test LLT (Lucas-Lehmer-Test).

Ce test consiste à calculer les éléments de la série : S_i+1 = S_i² - 2 (modmod M_q), en partant de S₀ = 4 . Si S_q-2 = 0 (mod M_q) , alors M_q est premier.