Au cœur de la géométrie : les invariants et la symétrie

Quand les gens parlent de symétrie, ils évoquent généralement la vision d'images dont l'ensemble est agréablement équilibré, comme la symétrie des ailes de papillon, le dessin des pépins quand vous coupez une pomme en deux, ou un visage vu de face.

Machaon : il existe dans la nature de nombreux exemples de symétrie par réflexion, ou symétrie axiale comme les ailes de papillon. © Wensbos - Domaine public

La symétrie par rotation

Ces sensations liées à une symétrie « intuitive » sont étudiées en géométrie euclidienne sous le nom de symétrie par rotation et par réflexion. Le papillon a la même symétrie par réflexion que le mot « BOB » : quand nous le plaçons devant un miroirmiroir, nous observons par réflexion un papillon indiscernable de l'original, tout comme quand nous disposons un miroir perpendiculairement au plan horizontal et selon l'axe de symétrie de la lettre U.

Les psychologues ont établi que nous sommes intéressés par des visages qui ne sont pas parfaitement symétriques, ce qui est une chance car la plupart des visages ne le sont pas tout à fait ! Le dessin des pépins au centre des pommes a une symétrie par réflexion, mais aussi par rotation. Une fleur à cinq pétalespétales peut être tournée d'un angle de 72° selon cinq positions, restant identique à l'original après chaque rotation. Une des motivations des mathématiciens est de généraliser leurs déductions pour les utiliser dans de nouveaux contextes. Ainsi le concept de la symétrie devient une opération mathématique qui, appliquée à un objet mathématique, conserve certaines propriétés de cet objet.