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Dossier - La Classification des groupes
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On sait que tous les nombres se peuvent se décomposer en nombres premiers. Comment décomposer les groupes en éléments primaires :c'est ce que nous allons nous efforcer d'expliquer dans cet article.

  
DossiersLa Classification des groupes
 

Nous avons ici considéré des groupes qui étaient obtenus à partir du produit d'autres groupes plus petits (ici Z2´Z2 mais on aurait pu prendre Z3´Z2). Ces constructions de groupes à partir du produit des structures d'autres groupes suffisent pas à dénombrer toutes les structures possibles effet, considérons à titre d'exemple le groupe d'ordre 8 Quaternionique Q8 qui peut être vu comme le groupe multiplicatif des 8 matrices suivantes :

Groupe quaternionique H :

Ce groupe possède plusieurs groupes normaux propres, pour être précis, 3 d'ordre 4 et 1 d'ordre 2. Par exemple, prenons le sous-groupe normal d'ordre 2 le sous-groupe {-1,1}. Cela signifie que l'on peut diviser Q8 modulo le sous-groupe {-1,1} (isomorphe à Z2) pour obtenir la structure du groupe Z2´Z2 (qui est le groupe quotient Q8/Z2) vue plus haut, ainsi que les couleurs du schéma précédent l'illustrent. On sait donc ramener la structure originale du groupe Q8 aux structures des groupes supposés connus : Z2´Z2 et Z2. Pourtant Q8 n'est pas isomorphe au groupe Z2´Z2´Z2, ce qui change, à y regarder de plus près, c'est que les positions des différents éléments de Q8 peuvent changer au sein des classes d'éléments.

Par conséquent, à condition de faire abstraction de la position des éléments, c'est l'absence d'un groupe normal propre, c'est-à-dire la simplicité d'un groupe qui atteste de l'originalité de sa structure.

Toute la difficulté de la théorie des groupes consiste donc à déterminer tous les types de structures différentes. Comme souvent en science, on cherche à déterminer les objets de base (par exemple, en arithmétique : les nombres premiers, ou en chimie : les atomes..., les couleurs primaires...), il s'agit donc ici de déterminer les structures primaires. On peut dire qu'un groupe a une structure primaire s'il ne contient à l'intérieur aucune structure plus petite, autrement dit, s'il n'y pas d'homomorphisme. Par conséquent, c'est la simplicité d'un groupe qui permet de reconnaître un groupe primaire, c'est-à-dire un groupe qui présente une " atomicité structurelle". Il est donc intéressant de dénombrer tous les groupes simples. En fait, on peut les classer en différentes catégories dont certaines sont infinies.

La classification des groupes simples

La classification des groupes simples est relativement récente (quelques décennies) et elle s'est avérée complexe à réaliser. Suite à de longues démonstrations laborieuses, il a été admis que l'on peut classer ces groupes simples en plusieurs catégories :

Les groupes cycliques d'ordre premier

Z2, Z3, Z5...

Les groupes alternés An pour n ³ 5

A5, qui est d'ordre 60, est le plus petit groupe simple qui n'est pas cyclique : ce qui illustre bien que la simplicité est une caractéristique rare parmi les groupes.

Les groupes de Lie dits " classiques " ou de " Chevalley "

PSL,PSU....

Les groupes de Lie dits " twisted groups "

Les 26 groupes sporadiques

Groupes de Mathieu, le monstre...

Cette dernière catégorie finie est nommée ainsi compte tenu de la rareté de ces groupes d'une part, et de l'irrégularité de leur ordre, d'autre part. Ainsi, nous pouvons citer à titre d'exemple, le monstre, qui est le plus grand représentant de cette catégorie. Il a été découvert en 1980 et baptisé ainsi à cause de son ordre élevé dont voici la décomposition en facteurs premiers

Il semble aujourd'hui que tous les types de groupes simples soient connus, et que cette classification soit définitive. La démonstration de cette affirmation tient sur plusieurs milliers de pages et est le résultat de nombreuses équipes de mathématiciens : aucun homme ne peut comprendre et donc vérifier tout ce travail de recherche.

Une chose est certaine : les groupes, qui sont pourtant la représentation d'objets réguliers, donc d'un certain "ordre des choses" (En effet, les groupes ne représentent-ils pas les symétries de figures régulières : polyèdres, polygones?) ; ces groupes donc, finissent par engendrer un univers qui nous apparaît sporadique et irrégulier.

Ce point est amusant si l'on songe que dualement les mathématiques les plus irrégulières, je pense aux mathématiques non-linéaires : le chaos, les fractales..., finissent par engendrer de l'ordre et de la régularité.

Ainsi les groupes d'un ordre petit sont structurellement peu complexe (S2»C2»D2 et S3»D3...) mais plus l'ordre des groupes augmente plus des structures nouvelles apparaissent. Voici un tableau qui dénombre les groupes d'ordre inférieur à 10 :

OrdreGroupeGénérateursrelationsAbélien
2S2»C2»D2aa^2=1Oui
3C3»A3aa^3=1Oui
4C4aa^4=1Oui
4C2xC2(=klein)a,ba^2=1 , b^2=1 , ab=baOui
5C5aa^5=1Oui
6C6»C2xC3aa^6=1Oui
6S3»D3a,ba^3=1, b^2=1 , aba=bNon
7C7 aa^7=1Oui
8C8aa^8=1Oui
8C2xC4a,ba^2=1 , b^4=1 , ab=baOui
8C2xC2xC2a,b,ca^2=1, b^2=1, c^2=1 ,ab=ba ; bc=cb, ac=caOui
8D4 a,ba^4=1 , b^2=1 , aba=bNon
8Q8a,ba^4=1 , a^2= b^2 , aba=bNon
9C9aa^9=1Oui
9C3xC3a,ba^3=1, b^3=1 , ab=baOui
10C10»C2xC5aa^10=1Oui
10D5 a,ba^5=1 , b^2=1 , aba=bNon

On remarque que plus l'ordre augmente plus on trouve de groupes pour un ordre donné. Ce nombre semble augmenter aussi avec le nombre de diviseurs de l'ordre en question (ceci peut paraître évident puisque les générateurs d'un groupe sont des diviseurs de l'ordre...). On ne sait pas calculer d'une manière directe le nombre de groupes pour un ordre donné. Cependant, la courbe du nombre de groupes en fonction de l'ordre peut être considérée, à un certain grain, comme une fractale : elle est structurellement semblable à différentes échelles de représentation. En effet, si on la représente sur l'intervale de 1 à(2^n)-1, elle a la même allure quelque soit n : seule différence plus n est grand plus elle semble avoir des détails précis. Par conséquent, s'il est vrai que l'on ne sache pas calculer explicitement cette courbe, cette propriété nous permet de nous en faire une bonne idée générale, et sans doute, en creusant le sujet, cela nous permettrait d'en calculer une bonne approximation.