La Classification des groupes

DossierClassé sous :Mathématiques , groupes , classification

-

On sait que tous les nombres se peuvent se décomposer en nombres premiers. Comment décomposer les groupes en éléments primaires :c'est ce que nous allons nous efforcer d'expliquer dans cet article.

  
DossiersLa Classification des groupes
 

Les groupes abstraits

Peut-être avez vous remarqué que certains groupes qui symbolisent des objets différents sont en fait structurellement identiques, c'est-à-dire isomorphes. Par exemple, les rotations qui conservent un carré dans le plan et le groupe additif dans Z4 sont 2 représentations d'un même groupe.

Autres exemples à propos du groupe d'ordre 2 :

" addition dans Z2 "01
001
110



" signe d'un produit "+-
++-
--+



" parité d'une somme"Pair Impair
Pair PairImpair
ImpairImpairPair



"les … de mes …. sont mes …"AmisEnnemis
AmisAmisEnnemis
EnnemisEnnemisAmis

Ces exemples illustrent que des ensembles d'objets de natures différentes, munis de lois internes spécifiques, peuvent former un groupe dont la structure est identique : on peut montrer facilement qu'il n'y a qu'un seul groupe abstrait d'ordre 2 à un isomorphisme près (c'est-à-dire une seule structure possible), c'est celui que l'on peut représenter d'une manière plus générale ainsi :

oAB
AAB
BBA

C'est pourquoi, afin de dégager les propriétés intrinsèques aux groupes, et ceci indépendamment de la nature des objets des ensembles manipulés, il s'est avéré intéressant d'étudier ce que l'on appelle les " groupes abstraits " : c'est-à-dire de concentrer les observations sur l'aspect structurel des groupes sans se préoccuper de la nature des éléments. C'est le mathématicien Cayley qui pris le premier ce recul. Afin de comprendre les groupes, les recherches se sont alors orientées pour cerner comment ils se composent. C'est ce que nous allons voir :

La simplicité mesure l' " atomicité structurelle " des groupes

Nous allons commencer par remarquer que si l'on regroupe certains éléments au sein d'une même classe, et si l'on considère cette classe comme un seul élément, alors l'ensemble de ces classes, muni de la même loi interne, constitue aussi un groupe. Le principal intérêt de ceci est que le groupe ainsi obtenu a évidemment un ordre inférieur au premier groupe et par conséquent on ramène ainsi l'étude de ce groupe à un celle d'un groupe plus petit, supposé connu. Ainsi par exemple, si l'on considère Z2 :

Groupes Z2 :

xIdX
IdIdX
XXId

Ainsi, le groupe de Klein peut être vu comme le produit de Z2 par Z2. :

Groupes de Klein » Z2´Z2

xIdXYZ
Id IdXYZ
XXIdZY
YYZIdX
ZZYXId

De même le groupe suivant peut être vu comme le produit de Z2´Z2´Z2 :

Groupes de Z2´Z2´Z2

XIdXYZABDC
Id IdXYZABCD
XXIdZYBADC
YYZIdXCDAB
ZZYXIdDCBA
AABCDidXYZ
BBADCXIdZY
CCDABYZIdX
DDCBAZYXId

Ces 3 groupes, bien que d'ordres différents (2, 4 et 8), sont en fait structurellement bâtis sur le même moule.