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Suites complexes et règles du hasard

Dossier - Que cache le hasard ?
DossierClassé sous :Mathématiques , hasard , probabilités subjectives

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Si l'on vous dit « hasard », vous pensez peut-être « chance », « coïncidence » ou « probabilité ». Mais que cache réellement le hasard, cette notion à la fois mathématique et philosophique ? La réponse dans ce dossier.

  
DossiersQue cache le hasard ?
 

Les probabilités nous donnent des outils pour contrôler des séries, et déterminer, le cas échéant, si elles peuvent être conformes au hasard. De manière très pragmatique, on peut alors annoncer que le hasard, pour une suite infinie, c'est ce qui se conforme bien aux lois du hasard. Dans cette optique, une suite est aléatoire si elle vérifie la loi des grands nombres et un paquet d'autres règles imposées au monde par le hasard.

Le gros inconvénient de cette définition en herbe, c'est qu'il faut choisir, à un certain moment, quelles règles conserver, et quelles règles oublier.

Un raisonnement tout simple nous permettra de comprendre ce qui se passe :

Ne conservons, disons, une seule règle, la loi des grands nombres. Disons donc qu'une suite est aléatoire pourvu qu'elle se plie à la loi des grands nombres. 0101010101..., qui alterne les 0 et les 1, doit alors être considérée comme aléatoire... ce qui est une idée aussi sotte que grenue.

Conservons maintenant toutes les règles possibles. Considérons une suite, n'importe laquelle : par exemple u = 0,1,1,1,0,0,1,0... Si je choisis une autre suite au hasard, la probabilité qu'elle soit exactement égale à u est de probabilité nulle. Nous pouvons donc énoncer cette règle du hasard : une suite aléatoire n'égale pas u. Comme cette règle est vraie quelle que soit la suite u, aucune suite ne suit toutes les règles du hasard.

Cruel dilemme : conservons trop peu de lois, tout est hasard. Conservons trop de lois, et rien n'est aléatoire...

Une suite est aléatoire si elle est complexe

Pourtant, c'est sur cet embryon apparemment stérile que s'est développé la théorie qui semble aujourd'hui la mieux adaptée pour définir une suite aléatoire.

Mais il faut pour cela recourir à l'informatique théorique, aux fonctions calculables par ordinateur (ou récursives), et surmonter maints obstacles techniques.

On arrive alors, après une longue traversée du désert que j'épargne aux internautes voguant sur Futura, à une élégante définition qui admet plusieurs présentations équivalentes, et qu'on peut résumer approximativement en quelques mots : une suite est aléatoire si elle est complexe, c'est-à-dire s'il n'existe pas de description courte de cette suite... ou, pour le dire plus informatiquement, s'il n'existe pas de programme court permettant d'engendrer la suite.

Cette idée intuitive (qui prend corps dans un formalisme un peu lourd) correspond très bien, et c'est l'une de ses plus époustouflantes qualités, à ce qui nous fait dire que 011011011011011 est « moins aléatoire » que 001101011110010000101100. La première suite, en effet, peut être décrite de manière très courte comme « la répétition de 011 ». Alors que pour la seconde, on ne voit guère de courte description.

En utilisant des automates cellulaires (sortes de petits programmes simples), on peut reconstituer des rayures semblables à celles du zèbre : c’est donc que ces rayures sont simples, et donc non aléatoires (dans un sens intuitif, car la définition formelle ne s’applique qu’aux suites infinies). © NG

Il n'a pas échappé aux esprits des cognitivistes que cette définition du hasard pourrait bien se transférer à la psychologie, et donner une définition de ce que nous autres appelons le hasard. Avec une différence cependant : bien qu'il existe un programme court calculant les décimales de pi, par exemple, cette suite nous paraîtra, à nous autres Homo sapiens, aléatoire.

Ces tableaux du peintre Mauricio Escobar sont difficiles à décrire de manière précise en quelques mots. De ce point de vue, ils sont « complexes », et donc aléatoires. D’un autre côté, ils admettent une définition approximative très courte (fleurs sur fond d’or). De ce point de vue plus humain, ils sont simples, et donc non aléatoires. Le passage entre la complexité théorique et la complexité perçue n’est pas évidente. © NG

C'est qu'il faut, lorsqu'on transporte la définition de l'informatique à la psychologie, remplacer le « programme court sur ordinateur » en un programme correspondant à l'esprit humain. Néanmoins, et avec ces aménagements de rigueur, il reste que la définition des suites aléatoires comme suites complexes est un point de convergence d'intérêts mathématiques et psychologiques.