En mathématiques, une division par zéro est dite non déterminée, c’est-à-dire qu’elle est impossible à poser. Mais pourquoi en est-il ainsi ? Petite démonstration par l’absurde.

au sommaire

    Pour aborder cette question, il faut d'abord rappeler qu'une division n'est autre chose qu'une multiplication par l'inverse. Ainsi, 3/4 revient à multiplier 3 par 1/4, soit 0,75. Pour n'importe quel nombre x, son inverse est donc x' tel que x x x' = 1. Or, zéro n'a pas d'inverse puisque n'importe quel chiffre multiplié par zéro donne toujours zéro. Par conséquent, la division par zéro est impossible et aboutirait à des contresens mathématiques.

    Mais que se passerait-il si l'on essayait tout de même de diviser par zéro ? Prenons un chiffre proche, par exemple 7/0,001 = 7.000. Si on prend un nombre encore plus petit, par exemple 0,00001 on obtient 700.000. On voit donc que l'on tend vers une valeur infiniment grande. Prenons à l'opposé une valeur négative se rapprochant de zéro, par exemple -0,00001. J'ai donc 7/-0,00001 = -700.000, ce qui tend vers l'infiniment petit. Diviser par zéro tend donc à la fois vers l'infiniment grand et l'infiniment petit, ce qui est contradictoire.

    Diviser par zéro : des résultats contradictoires ?

    Un autre exemple de l'absurdité mathématique de la division par zéro peut être apporté par cette démonstration. Prenons comme hypothèse de départ que x ≠ 0. Imaginons un nombre z tel que z = x/0. Pour obtenir z, je vais donc multiplier x par 0 de chaque côté de l'équationéquation, soit z x 0 = x/0 x 0. Comme n'importe quel nombre multiplié par zéro donne zéro, j'ai donc z = 0, et de l'autre côté de l'équation, les zéros s'éliminent, ce qui donne... 0 = x, soit un résultat en contradiction avec l'hypothèse de départ.