La division par zéro est dite non déterminée. © DR
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Pourquoi on ne peut pas diviser par zéro

Question/RéponseClassé sous :algèbre , division , multiplication

En mathématiques, une division par zéro est dite non déterminée, c'est-à-dire qu'elle est impossible à poser. Mais pourquoi en est-il ainsi ? Petite démonstration par l'absurde.

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[EN VIDÉO] La longue histoire du zéro  Un chiffre qui ne représente rien, ce n'est pas rien. En plusieurs endroits du monde, des mathématiciens ont conceptualisé cette notion, des Mayas aux Indiens, jusqu'à en faire un chiffre (presque) comme les autres. Fondamental, le zéro, qui est d'ailleurs à l'origine du mot « chiffre », a conquis le monde. 

Pour aborder cette question, il faut d'abord rappeler qu'une division n'est autre chose qu'une multiplication par l'inverse. Ainsi, 3/4 revient à multiplier 3 par 1/4, soit 0,75. Pour n'importe quel nombre x, son inverse est donc x' tel que xx' = 1. Or, zéro n'a pas d'inverse puisque n'importe quel chiffre multiplié par zéro donne toujours zéro. Par conséquent, la division par zéro est impossible et aboutirait à des contresens mathématiques.

Mais que se passerait-il si l'on essayait tout de même de diviser par zéro ? Prenons un chiffre proche, par exemple 7/0,001 = 7.000. Si on prend un nombre encore plus petit, par exemple 0,00001 on obtient 700.000. On voit donc que l'on tend vers une valeur infiniment grande. Prenons à l'opposé une valeur négative se rapprochant de zéro, par exemple -0,00001. J'ai donc 7/-0,00001 = -700.000, ce qui tend vers l'infiniment petit. Diviser par zéro tend donc à la fois vers l'infiniment grand et l'infiniment petit, ce qui est contradictoire.

Diviser par zéro : des résultats contradictoires ?

Un autre exemple de l'absurdité mathématique de la division par zéro peut être apporté par cette démonstration. Prenons comme hypothèse de départ que x ≠ 0. Imaginons un nombre z tel que zx/0. Pour obtenir z, je vais donc multiplier x par 0 de chaque côté de l'équation, soit z x 0 = x/0 x 0. Comme n'importe quel nombre multiplié par zéro donne zéro, j'ai donc z = 0, et de l'autre côté de l'équation, les zéros s'éliminent, ce qui donne... 0 = x, soit un résultat en contradiction avec l'hypothèse de départ.

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