Carl Gauss

Mathématicien et physicienphysicien, Carl Friedrich Gauss est une figure incontournable du XIXème siècle, non seulement pour la quantité monumentale de ses découvertes et la profondeur de ses idées, mais aussi pour sa rigueur à laquelle il attachait la plus haute importance. Sa devise, Pauca sed matura (peu mais mûr), illustre la précaution que prenait Gauss à ne publier que des textes soigneusement affinés: une de ces phrase célèbres est que « lorsqu'un bel éfidice est achevé, on ne doit pas y lire ce qui fut l'échafaudageéchafaudage ». On peut ainsi concevoir qu'il n'ait pas souhaité la publication de certains de ses travaux.

Gauss influencera considérablement la vie mathématique de son époque et de fait annonce la révolution cantorienne.

Un génie précoce

Né le 30 avril 1777 à Brunswick, Carl Friedrich Gauss est le seul enfant d'une famille modeste. Son pére, Gebhard Dietrich Gauss, sait lire et écrire, ce qui lui permet d'exercer des métiers différents au gré des circonstances. Sa mère, Dorothea Benze, ne sait que lire, mais c'est auprès d'elle qu'il trouvera le soutien nécessaire à la poursuite de ses études.

Le jeune Gauss manifeste très tôt ses prédispositionsprédispositions intellectuelles, notamment en mathématiques. Il entre à l'école à l'âge de sept ans comme la plupart des enfants de son âge, mais lui sait déjà lire et écrire. Il se passionne pour le français, le latin et le grec, qu'il maîtrise en seulement deux ans! Encouragé par son maître, il fréquente l'école secondaire et poursuit sa formation au Collegium Carolinum à Göttingen, s'étant vu attribué une bourse par le duc de Brunswick.

En 1796, il fait sa première découverte importante: en étudiant l'équationéquation (déjà considérée par Vandermonde) et en remarquant que les racines de cette équation sont également réparties sur le cercle unité, il parvient à une constructionconstruction à la règle et au compas du polygone régulier à 17 côtés. Mieux : son analyse lui permettra plus tard de montrer que l'on peut construire un polygone régulier à n côtés à la règle et au compas si n est un produit de nombres premiersnombres premiers distincts de la forme (nombres premiers de Fermat : les seuls connus à l'époque sont 3, 5, 17, 257, et 65537) et éventuellement d'une puissance de 2. La réciproque est vraie, mais Gauss n'en donne pas de preuve.

Gauss présente sa thèse de doctorat en 1799 : corrigeant et complètant la tentative de preuve due à d'Alembert il démontre le célèbre théorèmethéorème fondamental de l'algèbre (ou théorème de d'Alembert-Gauss) qui indique qu'une équation polynômiale de degré n admet en général n racines (éventuellement complexes). Sa preuve fait usage d'arguments topologiques qui ne sont pas pleinement satisfaisants aujourd'hui, faute de théorèmes précis d'analyse inexistants à l'époque. Le raisonnement peut néanmoins être rendu parfaitement rigoureux, ce que fit plus tard Ostrowski. Du reste, Gauss composa durant sa vie trois autres démonstrations qui ne souffrent quant à elles d'aucun manque de clarté.

L'arithmétique, reine des mathématiques

En 1801, Gauss publie les Disquisitiones Arithmeticae, un ouvrage consacré à la théorie des nombres (la « reine des mathématique », selon lui) : cette oeuvre majeure au stylestyle étonnamment moderne consolide sa réputation. Les trois premiers chapitres forment une introduction à la théorie des congruences où sont développés le petit théorème de Fermat et le théorème de Wilson. Mais le véritable génie de Gauss apparaît dans les chapitres suivants où il démontre de deux manières différentes la loi de réciprocité quadratique, conjecturée par Euler et Legendre. Cette dernière permet de caractériser complètement les solutions de la congruence .

La première preuve est un raisonnement par récurrence, particulièrement illisible, mais la seconde, qui repose sur une étude fine des formes quadratiques, est bien plus claire.

Ajoutons que l'étude des résidus quadratiques est à la base d'algorithmes rapides permettant de savoir si un nombre est premier ou non, sans avoir à trouver une factorisation explicite.

Gauss a tenté de généraliser la loi de réciprocité quadratique à des congruences de degré supérieur, et c'est sûrement ce qui l'a mené à en donner six autres démonstrations : parmi elles, la quatrième (1808) et la sixième (1817) sont plus importantes que les autres, car elles comportent des techniques qui furent exploitées par d'autres mathématiciensmathématiciens.

Gauss publie en 1828 et 1832 deux mémoires sur la loi de réciprocité biquadratique, où il introduit les nombres complexes de la forme où x et y sont des entiers. Ces nombres sont désormais connus sous le nom d'entiers de Gauss.

Dans Analysis residuorum, qui ne sera pas achevé, il reprend, en sus de travaux sur l'analyse numériquenumérique et le calcul de certaines séries, la théorie des entiers de Gauss et considère également les nombres de la forme et où j est une racine cubique de l'unité et x, y des entiers (Kummer et Eisenstein s'en serviront pour démontrer la loi de réciprocité cubique). Il parvient ainsi à démontrer la conjecture de Fermat pour n=3 puis pour n=5.

Calcul en astronomie et méthode des moindres carrés

1801 est aussi l'année de la découverte de l'astéroïdeastéroïde CérèsCérès par Piazzi, qui ne put observer l'astreastre qu'un mois avant qu'il ne disparaisse derrière le soleilsoleil. Gauss, informé de la nouvelle, cherche à déterminer la trajectoire de Cérès et met au point à ce dessein la méthode des moindres carrés*. L'astéroïde est retrouvé au lieu précis prédit par Gauss en décembre. La renommée du mathématicien franchit alors les frontières et il se verra offrir un poste à St-Petersbourg. Finalement, il accepte le poste de directeur du nouvel observatoire de Göttingen en 1807. Gauss contribuera grandement à la transformation de Göttingen en un centre de recherche réputé.

Son traité en deux volumesvolumes Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium (1809) restera pendant plusieurs décennies la référence en matièrematière de calculs appliqués à l'astronomie (malgré l'absence de l'étude du mouvementmouvement parabolique, effectuée par Olbers quelques années auparavant).

En particulier y est décrite la célèbre loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) pour l'estimation des erreurs.

* Legendre retrouve indépendamment la méthode des moindres carrés en 1806 en étudiant les orbitesorbites de certaines comètescomètes. Une querelle d'antériorité l'opposera à Gauss, lorsque celui-ci publie sa version de la méthode en 1809.

Contributions en optique

Bien que Gauss cesse ses travaux théoriques en astronomie à partir de 1817, il continuera longtemps à observer le ciel. Ceci le conduisit naturellement à améliorer les lentilleslentilles pour supprimer les aberrations chromatiquesaberrations chromatiques : ce phénomène est dû au fait que selon la longueur d'ondelongueur d'onde (couleurcouleur) de la lumièrelumière, les rayons ne convergent pas au même point.

La méthode d'approximation due à Gauss consiste à ne considérer que les rayons faiblement inclinés par rapport à l'axe optique du système (et proches de celui-ci), et ainsi de ne travailler qu'avec de petits angles d'incidenceincidence, de réfractionréfraction et de réflexion.

Mais ses idées théoriques sur la nature exclusivement corpusculaire de la lumière ne lui permettront pas de faire, dans ce domaine, des découvertes décisives.

Géodésie et géométrie

Le besoin de cartes précises à des fins civiles ou militaires au début du XIXème siècle est à l'origine des travaux de triangulationtriangulation dont Gauss est chargé en 1818 : il arpentera l'Allemagne du nord de nombreuses années durant. Améliorant les instruments de mesure (dont l'héliotrope) il s'intéresse également aux surfaces courbes et aux projections entre celles-ci (généralisant l'étude de la cartographie, projection de l'ellipsoïde terrestre sur un plan). Il introduit les notions de représentation sphérique (l'applicationapplication de Gauss, de nos jours généralisée à des variétés de dimension quelconque), de courbure totale en un point, et étudie les géodésiques (chemins les plus courts joignant deux points sur une surface), retrouvant un résultat de Jean Bernoulli.

L'étude de la courbure totale lui permet d'énoncer son fameux theorema egregium, indiquant que la courbure d'une surface peut être déterminée par des mesures d'angles et de distances sur la surface, sans référence à un espace tridimensionnelle. Il découvre aussi la formule dite aujourd'hui de Gauss-Bonnet sur la somme de triangles géodésiques, liée intimement aux géométries non-euclidiennes. Au sujet de ces dernières, Gauss se refuse à publier ses travaux et écrit à Bessel en 1829: « j'appréhende les clameurs des Béotiens, si je voulais exprimer complètement mes vues ». Gauss avait conscience que cette « étrange géométrie, tout à fait différent de la nôtre, entièrement conséquente en elle-même » contredisait la philosophie kantienne selon laquelle l'espace euclidien est un a priori antérieur à toute expérience.

Potentiel et électromagnétisme

La rencontre avec Wilhelm Weber en 1828 marque le début d'une collaboration productive : s'intéressant davantage à la physiquephysique, Gauss introduit pour la première fois la notion de potentiel, qu'il applique à la mécanique des solidessolides et des fluides, mais surtout à l'électromagnétismeélectromagnétisme. Gauss fait nommer Weber professeur de physique en 1831 à Göttingen et ils étudient ensemble pendant six ans le magnétismemagnétisme terrestre.

Ils mesurent l'intensité, la déclinaisondéclinaison et l'inclinaison de la force magnétique à l'aide du magnétomètremagnétomètre, conçu pour l'occasion par Gauss. Ceci leur permet en particulier de formuler deux théorèmes essentiels en électromagnétisme : il n'existe pas de monopôle magnétiquemonopôle magnétique; le flux d'un champ électriquechamp électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la charge électrique totale contenue à l'intérieur de la surface.

Ils découvrent également ce que nous appelons désormais les lois de Kirchhoff et mettent au point un télégraphe primitif qui pouvait envoyer des messages à plus d'un kilomètre de distance. En leur honneur, le Gauss est aujourd'hui une unité d'induction magnétique et le Weber une unité du flux d'induction magnétique.

Un homme réservé au destin tragique

L'union de Gauss avec Johanna Osthoff semble avoir été aussi harmonieuse que courte : en 1809, quatre ans après leurs noces, elle meurt en donnant naissance à leur troisième enfant, qui ne survivra que quelques mois à la mort de sa mère. C'est le début d'une mélancolie qui ne quittera vraisemblablement jamais le savant.

Moins d'un an plus tard, il épouse Minna Waldeck, la meilleure amie de sa première femme. Mais ce mariage de raison, altéré par la discorde qui apparaît tôt avec ses fils les plus jeunes, ne le soulage guère de sa peine. En 1831, Minna Waldeck, à la santé fragile, meurt d'une longue maladie qui la rongeait depuis 1818. Tandis que ses frères émigrent aux Etats-Unis, Thérèse, la plus jeune fille de Gauss, s'occupe de la maison et soutiendra son père jusqu'à la mort de celui-ci.

Les idées progressistes du duc de Brunswick incarneront pour Gauss les mérites de la monarchie éclairée. Mais le duc, commandant les armées prussiennes, meurt au combat contre l'empire napoléonien en 1806. Après la victoire d'Iéna, Napoléon crée en 1807 le royaume de Westphalie et lève un impôt de guerre. L'ère napoléonienne, les révolutions démocratiques en Allemagne et l'insécurité financière qui en découle ne cesseront de conforter le savant dans ses positions conservatrices.

Cependant, Gauss ne s'implique guère en politique et l'épisode des « sept de Göttingen » illustre bien son attitude : en 1837, le nouveau roi de Hanovre commet un abus de pouvoir, et sept professeurs de l'université de Göttingen (dont Weber et le gendre de Gauss) signent une pétition, qui a pour conséquence leur radiation de l'université. Malgré le poids qu'aurait eu sa signature, Gauss n'intervient pas, ne voulant pas mêler politique et science.

A partir de 1840, les publications de Gauss ne concernent plus que des variations sur des thèmes plus anciens ou des problèmes mineurs. Mais il reste actif, s'intéresse aux travaux de Lobachevsky ou de Eisenstein, ainsi qu'aux statistiques et aux mathématiques financières : diverses spéculations lui permettent de constituer un capital équivalent à près de 200 fois son revenu annuel. Gauss semble aussi prendre goût à l'enseignement, probablement enhardi par la perspicacité d'étudiants comme Dedekind, Riemann ou Cantor.

Menant un régime consciencieux, Gauss n'a jamais souffert de maladie conséquente jusqu'à l'apparition de maux cardiaques en 1850. Trois ans plus tard, Riemann commence à rédiger sa thèse (Habilitationsschrift) sur les fondements de la géométrie, un sujet difficile choisi par Gauss. L'exposé de ce travail en 1854, auquel Gauss assiste, témoigne symboliquement de la présence en Allemagne de mathématiciens aptes à poursuivre l'oeuvre du « prince des mathématiciens ». Carl Friedrich Gauss meurt dans son sommeilsommeil le 23 février 1855 à Göttingen.

Après sa mort, douze volumes seront publiés, de 1863 à 1929. L'ordre initial de ses travaux sera bouleversé, notamment après la découverte par son petit-fils, en 1898, du journal scientifique de Gauss, qui couvre la période 1796-1814 et contient 146 énoncés portant sur des questions d'analyse, d'algèbre et de théorie des nombres. Parmi eux figurent une conjecture sur la répartition des des nombres premiers (démontrée en 1896 par Hadamard et de La Vallée Poussin), une étude des fonctions complexes et en particulier la formule intégrale de Cauchy, ou encore des travaux sur les géométries non-euclidiennes.

C'est essentiellement la publication de ce fascicule, mais aussi celle de son abondante correspondance scientifique avec les autres savants, qui permet de mieux comprendre les revendications d'antériorité que Gauss ne cessait de proclamer quand il lisait des mémoires présentés par de jeunes chercheurs.