Théorème de Pythagore : qu'est-ce que c'est ?

Le théorème de Pythagore, un théorème de la géométrie euclidienne, doit son nom à un mathématicien grec du début du VI^e siècle avant J.-C. Et ce même si le résultat qu'il énonce était probablement connu bien plus tôt. C'est en effet à Pythagore qu'en est attribuée la première démonstration. Démonstration dont il ne reste malheureusement aucune trace écrite.

Le théorème de Pythagore s'énonce ainsi : si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse -- le côté opposé à son angle droit -- est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés formant l'angle droit. En d'autres mots, si ABC est un triangle rectangle en B alors : AC² = AB² + BC².

Notez que si dans un triangle, AC² n'est pas égal à AB² + BC², on peut affirmer que ce triangle n'est pas rectangle en B.

Le théorème de Pythagore nous apprend que l’aire du carré en bleu est égale à la somme des aires des deux autres carrés. © Marianov, Wikipedia, CC0 

Une réciproque tout aussi vraie

La réciproque du théorème de Pythagore est également toujours vérifiée. Elle s'énonce ainsi : si dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et on appelle hypoténuse, son plus grand côté. Ou encore, si dans un triangle ABC, AC² = AB² + BC² alors, le triangle est rectangle en B.

Là aussi, notez que si l'on sait qu'un triangle n'est pas rectangle en B, alors on peut également affirmer que AC² n'est pas égal à AB² + BC².

Cette équivalence permet finalement d'affirmer qu'un triangle est rectangle si, et seulement si, le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés.

Triplets pythagoriciens

On qualifie de triplets pythagoriciens, trois nombres entiers qui vérifient la relation de Pythagore. Ainsi (3, 4 et 5) représente le premier des triplets pythagoriciens puisque 5² = 4² + 3².