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Processus et structures fractales naturelles

Dossier - Les fractales, une curiosité mathématique
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Qu'est-ce qu'une fractale ? Ce concept mathématique, dont le père est Benoît Mandelbrot, fascine car il peut décrire une multitude de structures naturelles et permettre la création de splendides œuvres d'art numériques. Entrez dans le monde incroyable des fractales.

  
DossiersLes fractales, une curiosité mathématique
 

Des structures fractales sont présentes dans de nombreux « objets » et processus naturels ou d'origine humaine. Même si le domaine d'étude et le mot n'existaient pas alors, ceci avait été bien perçu dès 1913 par Jean Perrin, conscient que les courbes et figures géométriques étudiées par les mathématiciens décrivaient mal la nature.

L'ensemble de Mandelbrot. © Socialtrendspr0, DP

Dans untexteprophétique daté de 1913,Jean Perrindécrit des structures fractales bien avant que le mot ait été inventé : « Sur un tronc d'arbre par exemple, il suffira de m'approcher pour distinguer sur l'écorce rugueuse les détails que je soupçonnais seulement, et pour, de nouveau, en soupçonner d'autres. Puis, quand mon œil tout seul deviendra impuissant, la loupe, le microscope, montrant chacune des parties successivement choisies à une échelle sans cesse plus grande, y révéleront de nouveaux détails, et encore de nouveaux, et quand enfin j'aurai atteint la limite actuelle de notre pouvoir, l'image que je fixerai sera bien plus différenciée que ne l'était celle d'abord perçue». (Préface de son livre Les Atomes.)

Or l'objectif de Mandelbrot a été de créer un domaine mathématique nouveau destiné àdécrire la structure d'objets et de phénomènes, naturels ou créés par l'Homme.Ceci ressort très nettement du titre de son livre anglais The fractal geometry of Nature et de l'introduction de son livre français Les objets fractals :

« En somme, ce livre s'occupe, en premier lieu, d'objets très familiers, mais trop irréguliers pour tomber sous le coup de la géométrie classique : la Terre, la Lune, le Ciel, l'Atmosphère et l'Océan... »

« Bien que leur étude appartienne à des sciences différentes... les objets naturels en question ont en commun d'être de forme extrêmement irrégulière ou interrompue. Pour les étudier, j'ai conçu, mis au point et largement utilisé une nouvelle géométrie de la nature. »

La plupart des phénomènes ou structures étudiés par Mandelbrot étant très irréguliers et aléatoires pratiquement tous les modèles utilisés par Mandelbrot sont de nature probabiliste. Ils constituent donc une extension nouvelle des théories de la probabilité. Mandelbrot n'a pas abordé l'application du concept de fractales à des domaines déterministes avant 1979-80. 

Processus fractals

Par exemple, un des premiers sujets d'étude de Mandelbrot a été la distribution des parasites sur les lignes acheminant des signaux entre ordinateurs. À cette époque ces lignes étaient en effet relativement rustiques et très loin de la perfection présentée aujourd'hui par les fibres optiques qui acheminent la quasi-totalité du trafic Internet qui vous permet de lire ces pages.

Mandelbrot constate que ces signaux se répartissent en rafales séparées par des périodes d'accalmies. Mais les rafales elles-mêmes sont constituées de bouffées plus courtes séparées par des intervalles calmes, et ces bouffées peuvent à leur tour être décomposées en bouffées encore plus courtes. En gros on retrouve exactement la même distribution quelle que soit l'échelle de temps servant à observer le phénomène, ce qui est une définition évidente d'une distribution fractale aléatoire. Autrement dit les parasites se répartissent au hasard, mais ce hasard n'est pas informe ; il a une structure et Mandelbrot a montré que cette structure avait une forte analogie avec ce qui est probablement la fractale la plus ancienne connue : la poussière de Cantor (ou ensemble de Cantor, décrite par ce mathématicien vers 1872).

Pour comprendre la construction de cette figure, imaginez que vous partez d'un segment de droite dont on enlève le tiers central. Faites la même opération sur les deux segments restants, puis par itération successive sur les différents segments de plus en plus petits résultant de cette manipulation.

Bien entendu cette structure est trop régulière mais Mandelbrot a montré qu'en mélangeant ses parties de façon aléatoire on retrouve la structure des rafales de parasites.

Mandelbrot a également beaucoup travaillé sur les cours boursiers. Les théories traditionnelles considéraient que les fluctuations à court terme étaient plus ou moins aléatoires mais que les variations à long terme reflétaient de vraies tendances économiques. Or par une étude précise de séries de cours, Mandelbrot montre que les fluctuations à long terme ont exactement la même allure que les fluctuations à court terme (invariance d'échelle). Bien entendu cette théorie fractale des cours boursiers ne permet pas de prédire ce qui va se passer à un moment donné mais elle permet de prédire que des variations brutales peuvent se produire de manière pratiquement inattendue lorsque la liberté des cours n'est pas encadrée par des freins institutionnels.

Curieusement, d'après Mandelbrot, la répartition des crues du Nil au fil des années (crues de faible ou de forte importance, du moins avant le barrage d'Assouan) suit pratiquement la même loi que la fluctuation des cours boursiers. Il en est de même pour beaucoup d'autres fleuves.

Un autre domaine où les fractales ont été beaucoup utilisées est l'étude de la percolation, c'est-à-dire de la manière dont un liquide s'infiltre dans un substrat poreux, le sol généralement.

Fractales naturelles

La nature regorge de structures qui sont fractales, au moins jusqu'à un certain niveau. C'est le cas de la prodigieuse ramification des bronches dans les poumons, chaque bronchiole se terminant par un alvéole pulmonaire dont le nombre total est de 200 à 300 millions ! C'est aussi le cas de la ramification des vaisseaux dans le corps, et dans une moindre mesure celle des branches et rameaux des plantes.

© Nevit Dilmen, CC by-nc 3.0

Divers cristaux forment au cours de leur croissance des dendrites fractales, par exemple le givre.

© Annick Monnier, CC by-nc 3.0

Après avoir constaté la nature fractale de nombreuses côtes, Mandelbrot s'est très vite demandé s'il n'en était pas de même pour le relief terrestre. Il a initié des travaux, poursuivis en particulier par son élève Ken Musgrave, qui ont abouti à la réalisation de programmes engendrant des reliefs terrestres d'un réalisme étonnant.

Allant encore plus loin, Mandelbrot a proposé que la répartition des galaxies dans l'univers soit fractale. Ce qui pouvait passer pour une supposition osée de quelqu'un qui s'aventurait hors de son domaine de compétence a été confirmé par divers travaux. Il semble bien que les nuages gazeux interstellaires (dans notre galaxie) aient une répartition fractale aléatoire. Il en est de même de la répartition des galaxies et des amas de galaxies. Ceci s'exprime par une loi simple : la masse d'une structure (nuage gazeux, galaxie, amas de galaxie) est proportionnelle à une puissance D de sa taille, cette puissance étant une dimension fractale.