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Mandelbrot et les fractales

Dossier - Les fractales, une curiosité mathématique
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Qu'est-ce qu'une fractale ? Ce concept mathématique, dont le père est Benoît Mandelbrot, fascine car il peut décrire une multitude de structures naturelles et permettre la création de splendides œuvres d'art numériques. Entrez dans le monde incroyable des fractales.

  
DossiersLes fractales, une curiosité mathématique
 

Où l'on découvre qu'un concept mathématique non conventionnel peut décrire une multitude de structures naturelles, aussi bien que les cours de la bourse, ou permettre la création d'œuvres d'art numériques.

Rarement une notion mathématique aura eu autant de succès auprès de publics divers. La raison en est due en bonne partie au zèle mis par Benoît Mandelbrot, le « père » de cette branche des mathématiques, à la diffuser et par celui de ceux qui ont emboîté ses pas pour l'utiliser dans de très nombreux domaines. En particulier les livres de Mandelbrot Les objets fractals et The fractal geometry of Nature n'ont pas cessé d'être réédités et ont été lus par un nombre considérable de personnes d'horizons et de cultures très divers. Mais il y a au moins deux autres bonnes raisons : la première est que le concept lui-même a un côté fascinant parce qu'il conduit à une certaine forme d'infini ; la deuxième est qu'il est possible de produire des images étranges et d'une grande beauté en utilisant les mathématiques fractales.

C'est en grande partie grâce à Benoît Mandelbrot que les fractales ont eu tant de succès. © YMF, DP

Définir correctement ce qu'est une fractale n'est pas simple et certaines définitions trouvées dans divers articles sont inexactes ; Mandelbrot lui-même a varié dans ses propos. On peut partir pour débuter, non pas d'une définition mathématique, mais de la définition lexicographique qu'en donne Mandelbrot dans son ouvrage Les objets fractals :

... « objet fractal » et « fractale », termes que je viens de former, pour les besoins de ce livre, à partir de l'adjectif latin fractus, qui signifie « irrégulier ou brisé ».
Fractale. n.f. Configuration fractale. Ensemble ou objet fractal.
Remarque. Puisque mon adjectif pluriel fractals avait prêté à controverse, il paraît bon que le nom correspondant soit féminin. J'y tiens, bien que de nombreux collègues choisissent spontanément le masculin. La raison en serait qu'ils ne considèrent pas fractal comme étant un mot français qui serait passé à l'anglais.
B. Mandelbrot : Les objets fractals (Flammarion).

Le mot a été créé en effet par Mandelbrot pour la première édition de son livre en 1975, mais les travaux qui lui ont progressivement permis de dégager ce concept débutèrent dans les années 50. De plus diverses figures fractales avaient été inventées par des mathématiciens depuis la fin du XIXe siècle, mais ces approches étaient restées sans liens entre elles.

Mandelbrot. © DR

Le mérite de Mandelbrot est d'avoir trouvé ce qu'il y avait de commun à des choses aussi diverses que certaines figures géométriques étranges, la distribution des parasites sur les lignes de transmission de signaux, la longueur des côtes, les cours boursiers, le régime des crues de certains fleuves, le relief terrestre, la distribution des galaxies, la structure des poumons, des travaux mathématiques très théoriques sur la notion de dimension, sur l'itération de polynômes complexes, et beaucoup d'autres choses encore. Mandelbrot a donc abordé toutes sortes de sujets dont beaucoup avaient été étudiés par d'autres, mais il fut le premier à découvrir et analyser théoriquement les lois générales qui les rapprochent.

En quoi le fait qu'une structure soit irrégulière ou brisée nécessite-t-il la création d'un nouveau mot, et plus encore, l'invention d'un nouveau domaine des mathématiques ?