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Benoît Mandelbrot, le père des fractales, est décédé

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Mathématicien, né en Pologne, passé par la France et vivant aux États-Unis, Benoît Mandelbrot vient de s'éteindre, laissant derrière lui un travail original, connu du public grâce aux fractales et qui a beaucoup servi la théorie du chaos.

Une fractale, ces courbes qui se démultiplient à l'infini lorsqu'on les regarde de plus en plus près. © Commons

Réfugié, migrant entre Europe et États-Unis, cheminant hors des sentiers battus, Benoît Mandelbrot, touche-à-tout, mathématicien hors norme, vient de mourir à l'âge de 85 ans des suites d'un cancer. Il restera dans l'histoire comme l'inventeur des fractales (voir le dossier que nous lui avons consacré), ces courbes étranges qui se compliquent à l'infini quand on en grossit un tronçon.

Ainsi, la mesure de la longueur d'une côte ne donnera pas le même résultat selon l'échelle de la carte que l'on utilise. En tenant compte de tous les cailloux et de toutes les anfractuosités, on peut dénombrer des milliers de kilomètres entre Dinard et Nantes, et beaucoup plus encore si l'on fait le tour des grains de sable. La remarque peut sembler anecdotique mais Benoît Mandelbrot, dans les années 1960, lui trouvera un formalisme mathématique et cette trouvaille aura des applications inattendues dans les domaines les plus variés, partout où les petites causes produisent de grands effets : là où règne le chaos, du système financier à la circulation atmosphérique mondiale.

Benoît Mandelbrot en 1997, alors qu'il travaillait à l'université Yale. © Yale University

Il fallait un esprit original pour trouver ainsi un lien entre des domaines aussi divers et Mandelbrot en était assurément un. Né en 1924 à Varsovie de parents juifs venus de Lituanie, il émigre à Paris en 1936, fuyant avec sa famille la menace du nazisme. Son oncle, Szolem Mandelbrojt, vit en France. Ce mathématicien a participé, après la Première guerre mondiale à la fondation du groupe Bourbaki, qui influence durablement l'école mathématique française. Devenu mathématicien à l'Ecole Polytechnique, Mandelbrot supporte assez mal cette évolution qui faisait des mathématiques une science pure et éloignée du monde réel, où les sujets de travail se suffisaient à eux-mêmes. Après la guerre, il émigre aux États-Unis, ce qui lui vaut aujourd'hui - en France - d'être présenté comme un chercheur franco-américain.

Suis-je un ensemble vide ?

Éclectique, il s'intéresse entre autre à la théorie des jeux ou à l'économie et même à la linguistique à cause d'un article qu'il avait lu un jour par hasard (« à Paris, j'avais ramassé une revue dans la corbeille d'un chercheur pour avoir quelque chose à lire dans le métro » expliquera-t-il plus tard, selon James Gleick, La théorie du chaos, Albin Michel, 1989). « Souvent, lorsque j'entends la liste de mes anciennes professions, je me demande si j'existe réellement. L'intersection de ces ensembles est sûrement un ensemble vide. » (Même source.)

A ses débuts, il travaille chez IBM au département Recherche et l'un de ses sujets est la répartition des revenus. Benoît Mandelbrot s'étonne de retrouver un des diagrammes qu'il a réalisés parmi ceux présentés par un professeur d'économie présentant ses travaux sur l'évolution du cours du coton. Plus tard, Mandelbrot étudie la répartition des parasites gênant les échanges au sein d'un réseau d'ordinateurs. Il retrouve le même schéma et réalise que si on représente graphiquement l'apparition de ces signaux inopportuns on obtient les mêmes formes quelle que soit la durée que l'on considère : seconde, minute, heure, journée. L'apparition de parasites est complètement aléatoire. On ne peut même pas établir une moyenne sur une période donnée (il suffirait de faire glisser cette période pour obtenir des chiffres complètement différents) et il est tout à fait inutile, après un exceptionnel flot de parasites, de partir dans les locaux à la recherche d'un technicien qui aurait bidouillé le réseau.


Pour les anglophones : neuf minutes d'explication sur les fractales, avec Benoît Mandelbrot en personne. © FHS

Combien mesure la côte de la Bretagne ?

Benoît Mandelbrot aimait à dire qu'il cherchait toujours une représentation géométrique aux problèmes qu'il étudiait. C'est sans doute cette faculté qui l'a amené à décrire ce genre de situation en utilisant une nouvelle famille de courbes qu'il baptisa les « fractales ». En 1967, il publia un article demeuré célèbre « Combien mesure la côte de la Bretagne ? » (How long is the coastline of Britain ? Statistical self-similarity and fractional dimensionScience 156, pp.636-638).

Il décrit un nouvel objet : la dimension fractionnaire. Une droite est un objet de dimension 1 et un plan en a 2. Alors, explique-t-il, disons que la côte bretonne possède une dimension de 1 virgule quelque chose. Cette partie fractionnaire décrit la rugosité : 1,1 pour une courbe plutôt calme et 1,9 pour une courbe qui tourne et retourne dans tous les sens, au point, par exemple, d'occuper une grande partie de la surface de la feuille sur laquelle on la dessine. De même, les villosités de la paroi intestinale font que cette surface tend à occuper un certain volume : la dimension de la paroi interne du tube digestif est supérieure à 2 et inférieure à 3.

Ses fractales connaîtront un grand succès. Les informaticiens joueront beaucoup avec et découvriront qu'elles peuvent servir à dessiner les nuages ou les forêts. Les physiciens les retrouveront dans de multiples domaines (jusqu'à la supraconductivité) et se serviront des fractales pour représenter les « attracteurs étranges » des systèmes chaotiques, par exemple pour décrire le désormais célébrissime « effet papillon ». On peut voir sur YouTube un reportage de Arte sur les fractales.

Après le grand scepticisme qui a accueilli ses premiers travaux, Benoît Mandelbrot est finalement pris au sérieux. Enfin presque. En 2004, il publie un ouvrage (Une approche fractale des marchés, Odile Jacob) dans lequel il explique que le système financier mondial fonctionne selon un mode chaotique et que les modèles mathématiques en vigueur, dont s'enorgueillissent les banques, sont faux. Il prédit que le monde des finances connaîtra tôt ou tard de graves accidents. « Les catastrophes financières sont souvent dues à des phénomènes très visibles, mais que les experts n'ont pas voulu voir. Sous le tapis, on met l'explosif ! » résumait-il en octobre 2009 dans un entretien avec une journaliste du Monde.