Calcul variationnel : qu'est-ce que c'est ?

Une caténoïde (du latin Catena, chaîne) se forme lorsque deux anneaux circulaires parallèles sont séparés lentement après avoir été plongés dans une solution savonneuse. C'est la surface minimale entre ces deux cercles. Elle fut découverte par Leonhard Euler en 1744 et l'équation de sa surface est une solution d'un problème de calcul variationnel. © Berkeley Science Review 

Le calcul variationnel est une branche des mathématiques qui s'est développée pour résoudre des problèmes nécessitant de trouver une fonction rendant extrémale une quantité donnée, comme la trajectoire rendant minimum le temps pour se rendre d'un point à un autre ou la distance minimale entre deux points sur une surface. Il ne s'agit pas de trouver les extrema d'une fonction mais bien de trouver une fonction inconnue rendant extrémale la valeur d'une fonctionnelle, c'est-à-dire une fonction de fonction.

Le calcul variationnel dans l'histoire

On peut faire remonter les réflexions sur ce genre de problèmes au moins aux considérations de calcul différentiel lié au principe de Fermat en optique et au principe de moindre action en mécanique, mais c'est véritablement en 1696 que le mathématicien suisse Jean Bernoulli pose l'un des premiers problèmes que l'on qualifie maintenant de variationnels. Il s'agissait de trouver la forme de la brachistochrone, c'est-à-dire de la courbe reliant deux points fixés A et B, le long de laquelle un solide tombant sous l'effet de la gravité partant de A arrive le plus vite en B.

Joseph-Louis Lagrange est né à Turin le 25 janvier 1736. Mathématicien d'une classe exceptionnelle, Lagrange publie coup sur coup différentes études, à commencer par son ouvrage fondamental, Mécanique analytique, et développe ses conceptions mathématiques dans des ouvrages publiés en 1797, 1798, 1799. Laplace les exploitera pour l'astronomie dans ses études ultérieures. Venant à la fin du siècle des Lumières, l'œuvre de Lagrange en constitue le couronnement, même s'il est décédé, à Paris, le 10 avril 1813. Sa diversité et son ampleur peuvent se mesurer au nombre d'équations, de théorèmes, qui portent son nom. © bureau-des-longitudes.fr 

Mais il fallut attendre 1744  pour que le grand mathématicien suisse Euler propose la première approche générale de ce type de questions et 1760 pour que le grand Lagrange publie un mémoire inspiré des idées d'Euler.

Applications du calcul variationnel

Les fondements de ce qui s'appelle alors et encore aujourd'hui le calcul des variations y sont exposés et ont servi à Lagrange pour développer sa désormais célèbre mécanique analytique, à la base (via notamment les travaux d'Hamilton) de bien des formulations de théories de la physique moderne, comme la théorie quantique des champs relativiste.

Aujourd'hui, on trouve le calcul variationnel dans de nombreuses branches des mathématiques, de la physique mais aussi de l'économie, de l'ingénierie et de manière générale dans tous les problèmes théoriques et concrets où il est question d'optimisations.