Sciences

Applications de l'équation (2) à la théorie des réseaux

Dossier - Quand biologie et finance se rencontrent grâce aux mathématiques
DossierClassé sous :Mathématiques , biologie , finance

Docteur et financier quantitatif

-

Physique, chimie, biologie, informatique, économie, finance, sociologie, psychologie… Tous les domaines passent aujourd'hui par des modèles mathématiques. Ces outils rigoureux permettent de rendre compte de phénomènes contre-intuitifs, ou bien de la validation quantitative de grandeurs. Ainsi, il n'est pas étonnant de retrouver des similarités entre deux modèles, venant chacun d'un domaine distinct…

  
DossiersQuand biologie et finance se rencontrent grâce aux mathématiques
 

La première composante de la matrice d'adjacence se distingue fortement des autres si, entre autres, les nombres non nuls dans la matrice sont repartis de manière homogène dans la matrice.

C'est ainsi que le premier vecteur propre V1, comme on l'avait déjà remarqué, contenait des informations sur la structure tridimensionnelle d'une protéine, ou bien encore que V1 contenait suffisamment d'informations pour reconstruire une carte de contact. Les domaines d'application en théorie des réseaux abondent (biologie, économie, trafique routier...).

Une matrice d'adjacence est donc une matrice carrée, symétrique, et dont la valeur propre λ1 est susceptible d'être très élevée. Il convient dès lors d'identifier un tel comportement, ou pas, pour les différents types de réseaux présentés à la section précédente.

Nous observons que le vecteur erreur E a des valeurs de ses composantes très faibles pour les réseaux ER et très élevées pour les réseaux SF. En revanche, les cas diffèrent selon les tailles

Figure 8 - Les quatre premiers graphiques (à gauche) représentent le graphe ER, puis, un étage en dessous, le graph SF, puis le graph CB, et en n le graphe BP. De gauche à droite, nous représentons le graphe en question, suivi de la matrice d'adjacence associée. Ensuite, nous montrons l'histogramme empirique du vecteur degrés, et en n le graphique premier vecteur propre V1 versus vecteur degré. Seul pour le graphe ER, le premier vecteur propre V1 est très proche du vecteur degrés. © Julien Riposo - Tous droits réservés

des familles (nombre de nœuds qu'elles contiennent) dans les réseaux CB et BP : si les tailles sont proches, les valeurs des composantes du vecteur erreur E sont faibles. Sinon, elles sont élevées. Selon que les valeurs des composantes de E soient faibles ou élevées, les vecteurs V1 et Me/ llMell sont proches ou éloignés (rappelons l'équation (2) : V1 = Me/ llMell + E). Graphiquement, tracer V1 « en fonction de » Me/ llMell revient à voir si les points sont proches ou éloignés de la première bissectrice du repère (O, x, y) (demi-diagonale passant par l'origine du repère, et faisant un angle de +45 degrés par rapport à l'horizontale, ou axe des x).

Pour expliquer une telle différence parmi ces quatre types de réseaux, nous retiendrons qu'un des critères pour que les vecteurs V1 et Me/ llMell soient proches est que les composantes du vecteur degrés renormalisées Me/ llMell fluctuent faiblement autour d'une valeur moyenne, ce qui est le cas pour les réseaux ER, et CB et BP dont les familles ont des tailles proches.