Formule de Stirling : qu'est-ce que c'est ?

Les mathématiciens français et écossais Abraham de MoivreAbraham de Moivre et James Stirling ont étudié à la même époque la croissance (très rapide) de la factoriellefactorielle. De Moivre publia en 1730 dans ses Miscellanea Analytica de seriebus et quadraturis l'estimation

2pi nn^ne^-n" alt=" " />,

baptisée à tort formule de Stirling. Cette expression mathématique fait désormais partie de la culture populaire, car elle consacre les célèbres nombres e et .

Stirling, en correspondance avec de Moivre, a quant à lui proposé une amélioration de la formule, publiée dans ses Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum (1730) :

2pi nleft(fracneright)^n left( 1 + frac112n + frac1288n^2 - frac13951 840n^3 - frac5712 488 320n^4 +cdots right)" alt=" " />.

Notons que cette série n'est pas convergente, en dépit des très bonnes approximations qu'elle fournit lorsqu'elle est tronquée.