Sciences

Formule de Stirling

DéfinitionClassé sous :Mathématiques

Les mathématiciens français et écossais Abraham de Moivre et James Stirling ont étudié à la même époque la croissance (très rapide) de la factorielle. De Moivre publia en 1730 dans ses Miscellanea Analytica de seriebus et quadraturis l'estimation

2pi nn^ne^-n' alt=' ' />,
2pi nn^ne^-n" alt=" " />,

baptisée à tort formule de Stirling. Cette expression mathématique fait désormais partie de la culture populaire, car elle consacre les célèbres nombres e et  .

Stirling, en correspondance avec de Moivre, a quant à lui proposé une amélioration de la formule, publiée dans ses Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum (1730) :

2pi nleft(fracneright)^n left( 1 + frac112n + frac1288n^2 - frac13951 840n^3 - frac5712 488 320n^4 +cdots right)' alt=' ' />.
2pi nleft(fracneright)^n left( 1 + frac112n + frac1288n^2 - frac13951 840n^3 - frac5712 488 320n^4 +cdots right)" alt=" " />.

Notons que cette série n'est pas convergente, en dépit des très bonnes approximations qu'elle fournit lorsqu'elle est tronquée.

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