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Fractales, multifractales

Dossier - Bio-inspirations, fractales, complexité et émergence
DossierClassé sous :Mathématiques , modélisation , fractales

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La modélisation, l'analyse et le contrôle de la complexité sont des mots-clés de plus en plus cités dans les programmes de recherche nationaux et internationaux. Ce thème est commun à de nombreuses préoccupations scientifiques modernes : sciences et technologies du vivant, société de l'information, transports et environnement. Il correspond à un "verrou théorique et technologique'' C'est sans doute un des grands défis de ces prochaines années, qui nécessite un effort de recherche fondamentale et multidisciplinaire

  
DossiersBio-inspirations, fractales, complexité et émergence
 

Née de l'analyse d'objets mathématiques "étranges" (comme des courbes de longueur infinie occuppant une surface finie, ou des fonctions continues nulle part dérivables) à la fin du XIXeme siècle, la géométrie fractales a pris son essor grâce aux travaux de Benoit Mandelbrot au milieu du XXeme siècle.

Fractales. © FS Domaine public

L'argument étant que ces curiosités mathématiques étaient en fait des objets que l'on retrouve assez couramment dans la nature. Les fougères, le choux romanesco, les côtes de Bretagne, sont des exemples de formes fractales naturelles.

L'idée d'appliquer les principes de la géométrie fractale aux systèmes artificiels, au traitement des images, des signaux et des processus stochastiques est ensuite venue progressivement.Le projet FRACTALES a contribué largement au succès de ces techniques, en explorant les bases théoriques analyse multifractale, processus stochastiques fractals), en élaborant des outils algorithmiques adaptés à cette approche (Fraclab) et en développant de nombreuses applications (segmentation, compression, débruitage de signaux et d'images, analyse des trafics routiers et internet, finance.

On peut dire que l'analyse fractale représente une autre approche de la complexité : cette approche est née de la nécessité de trouver des outils adéquats pour modéliser des phénomènes naturels ou artificiels complexes et irréguliers. De nombreux phénomènes complexes naturels, biologiques ou physiques ont été identifié comme "fractals'' (sur plusieurs ordres de grandeur du moins), et l'étude des modèles qui en découlent ont amené des progrès importants (turbulence, modèles de croissance, catalyseurs, phénomènes vibratoires, fracture des matériaux, signaux biomédicaux, tremblements de terre, éruptions volcaniques).

Un des thèmes centraux de l'équipe concerne la modélisation et l'analyse de l'irrégularité des signaux et des processus stochastiques, sans hypothèse préalable de "fractalité" des signaux. Plus précisément, ce que l'on appelle l'analyse multifractale fournit une description à la fois locale et globale des singularités d'un signal pour caractériser de façon géométrique et statistique la répartition des singularités sur le support du signal. Et il semble bien que des caractéristiques dites "multifractales" apparaîssent souvent comme le résultat de l'interaction complexe d'un grand nombre d'éléments ayant chacun un comportement simple ...