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Lagrangien

DéfinitionClassé sous :physique , lagrangien , équation de Lagrange

Le lagrangien d'un système physique est une fonction importante permettant de décrire les équations de mouvements des variables dynamique de ce système. A l'origine, il a été introduit en mécanique analytique par Joseph Louis Lagrange avec les équations qui portent son nom. Un exemple simple pour comprendre la signification de ces équations suffira.

Considérons un ensemble de N particules dans un gaz possédant donc 3N coordonnées de position  et 3N coordonnées de vitesse   où le point désigne la dérivation totale de la coordonnée précédente par rapport au temps, c'est à dire  .

On sait que dans la formulation de Lagrange des équations de la mécanique d'un système de particules les équations différentielles du mouvement de ces particules seront données par

                                               

où la fonction dite de Lagrange pour ces particules dans un potentiel V s'écrit

                            

Les masses  étant évidemment les mêmes pour une particule et ses trois coordonnées de positions. Le premier terme à droite dans l'équation représente une somme d'énergies cinétiques.

Joseph Louis Lagrange (25 janvier 1736, Turin - 10 avril 1813, Paris)

La formulation Lagrangienne est invariante par changement de système de coordonnées  et c'est ce qui fait sa puissance car elle permet de ramener de larges classes d'équations différentielles exprimées en coordonnées cartésiennes, sphériques etc...à quelques cas fondamentaux que l'on sait résoudre.

En outre, elle permet de démontrer que des théorèmes de conservation comme ceux de l'énergie, de la quantité de mouvement etc... sont automatiquement valables pour ces larges classes d'équations différentielles puisque, en démontrant des lois de conservation dans un système de coordonnées donné, on est sûr qu'ils seront valables dans d'autres systèmes de coordonnées ou pour d'autres systèmes mécaniques qui se raménent à des équations sous la forme de Lagrange.

La validité de lois de conservation comme celle de l'énergie ou de la quantité de mouvement, initialement établie pour des points matériels, sera alors tout aussi assurée pour le champ électromagnétique si l'on peut mettre les équations de Maxwell sous la forme d'un Lagrangien. C'est bien le cas.

La situation est d'ailleurs très profonde et a des répercussions en mécanique quantique et en théorie quantique des champs par l'intermédiaire du théorème de Noether reliant l'invariance du Lagrangien par certaines transformations de symétries et l'établissement de lois de conservation.

Ainsi, si l'on écrit une équation différentielle avec des variables n'ayant pas de rapports directs avec les positions d'un système de particule, mais dérivant d'un Lagrangien pouvant avoir la forme de celui d'un système de particules invariant par translation dans le temps, alors on pourra définir une fonction   qui correspondra à une énergie et satisfera à une lois de conservation.

Les équations de Lagrange sont dérivables à partir de la condition que la fonction

                      

Soit un extremun pour toutes les variations ( en un sens précis) des coordonnées de positions et de vitesses d'un système mécanique possédant un Lagrangien, entre deux dates séparant des états de mouvement du système mécanique considéré.

Cette fonction est appelée l'action, elle permet d'écrire les équations suivantes:

                         

                                       

La première est précisément l'équation de Hamilton-Jacobi et elle est reliée à l'intégration des équations de Hamilton précédentes.

C'est cette équation qui permettra à Schrödinger de développer sa mécanique ondulatoire.

Le lagragien d'un système mécanique est à la base de la formulation de la mécanique quantique à l'aide de la célèbre intégrale de chemin de Richard Feynman. Toute la physique des particules du modèle standard, avec donc la théorie quantique des champs relativistes, est formulée à l'aide d'un lagrangien.

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