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Équations de Hamilton

DéfinitionClassé sous :physique , Equation de Hamilton , crochet de Poisson

Les équations de Hamilton sont une formulation très puissante des équations de la mécanique analytique. Elles sont fondamentales de par leur rôle général en physique et elles sont à la base de la découverte et de la formulation de la mécanique quantique.

Sir William Rowan Hamilton (1805-1865).

Initialement limitées à des systèmes mécaniques comportant un nombre fini de degrés de libertés, comme les positions et les vitesses des particules dans un gaz, ou les angles et vitesses de rotations permettant de décrire un gyroscope, ces équations peuvent être étendues pour décrire des systèmes continus à une infinité de degrés de libertés. C'est le cas des équations du champ électromagnétique ou du champ de gravitation qui peuvent être mises sous une forme dite Hamiltonienne.

Un exemple simple pour comprendre la signification de ces équations suffira.

Considérons un ensemble de N particules dans un gaz possédant donc 3N coordonnées de position  et 3N coordonnées de vitesse   où le point désigne la dérivation totale de la coordonnée précédente par rapport au temps, c'est à dire  .

On sait que, dans la formulation de Lagrange des équations de la mécanique d'un système de particules, les équations différentielles du mouvement de ces particules seront données par :

où la fonction dite de Lagrange pour ces particules dans un potentiel V s'écrit

Les masses  étant évidemment les mêmes pour une particule et ses trois coordonnées de positions. Le premier terme à droite dans l'équation représente une somme d'énergies cinétiques.

Joseph Louis Lagrange (25 janvier 1736, Turin - 10 avril 1813, Paris)

La formulation Lagrangienne est invariante par changement de systèmes de coordonnées  et c'est ce qui fait sa puissance, car elle permet de ramener de larges classes d'équations différentielles exprimées en coordonnées cartésiennes, sphériques etc... à quelques cas fondamentaux que l'on sait résoudre.

En outre, elle permet de démontrer que des théorèmes de conservation comme ceux de l'énergie, de la quantité de mouvement etc... sont automatiquement valables pour ces larges classes d'équations différentielles puisque, en démontrant des lois de conservation dans un système de coordonnées donné, on est sûr qu'ils seront valables dans d'autres systèmes de coordonnées ou pour d'autres systèmes mécaniques qui se ramènent à des équations sous la forme de Lagrange.

La validité de lois de conservation comme celles de l'énergie ou de la quantité de mouvement, initialement établie pour des points matériels, sera alors tout aussi assurée pour le champ électromagnétique si l'on peut mettre les équations de Maxwell sous la forme d'un Lagrangien. C'est bien le cas.

La situation est d'ailleurs très profonde et a des répercussions en mécanique quantique et en théorie quantique des champs par l'intermédiaire du théorème de Noether reliant l'invariance du Lagrangien par certaines transformations de symétries et l'établissement de lois de conservation.

Ainsi, si l'on écrit une équation différentielle avec des variables n'ayant pas de rapports directs avec les positions d'un système de particule, mais dérivant d'un Lagrangien pouvant avoir la forme de celui d'un système de particules invariant par translation dans le temps, alors on pourra définir une fonction   qui correspondra à une énergie et satisfera à une loi de conservation.

La formulation de Lagrange peut être étendue de la façon suivante. On introduit une autre variable   définie par  . On peut alors construire une fonction dite Hamiltonienne , déduite du Lagrangien précédent par la transformation de Legendre :

Le système d'équations différentielles du second ordre de Lagrange peut alors s'écrire sous la forme d'un système d'équations différentielles du premier ordre:

           
           

Ce sont les équations de Hamilton et elles seront capitales entre les mains de Heisenberg, Born, Jordan et Dirac pour la découverte et la formulation de la mécanique matricielle et son extension finale, la mécanique quantique. En effet, ces derniers découvriront que le passage de la mécanique classique à la mécanique quantique se fait en remplaçant les quantités précédentes par des matrices.

Evidemment, la fonction de Hamilton  exprime bien là encore l'énergie totale du sytème mécanique considéré.

Il y a plusieurs conséquences importantes qui découlent de ces équations que l'on trouve aussi à la base de la formulation de la mécanique statistique de Gibbs, Boltzmann et Einstein.

Ces équations ramènent par exemple le mouvement de N points matériels (particules d'un gaz, étoiles dans une galaxie etc...) à celui d'un unique point abstrait dans un espace à 6N dimensions que l'on appelle l'espace des phases d'un système mécanique Hamiltonien. Les coordonnées de ce point étant définies par 3N paires de coordonnées appelées coordonnées conjuguées  et  .

Ces mêmes équations sont invariantes par une plus large classe de changement de coordonnées dites transformations canoniques des variables conjuguées précédentes. Elles s'écrivent :

 

Ceci donne lieu à une puissante technique d'intégration des équations de mouvement d'un système mécanique, comme cela a été initialement démontré en mécanique céleste. C'est d'ailleurs pourquoi Bohr, et surtout Sommerfeld, l'utiliseront pour étudier et construire des modèles atomiques avec des orbites d'électrons autour du noyau d'un atome.

Siméon Denis Poisson (21 juin 1781 - 25 avril 1840 )

Une partie de ces techniques d'intégrations va utiliser un développement des équations de Hamilton qui fait intervenir les équations de Poisson de la mécanique analytique.

Considérons deux fonctions quelconques :

des coordonnées conjuguées d'un système mécanique sous forme Hamiltonnienne.

Poisson a alors introduit la construction suivante :

que l'on appelle crochet de Poisson.

On peut alors écrire des équations différentielles  sous la forme :

où    est toujours l'énergie totale d'un système mécanique Hamiltonien.

En particulier, si  vaut  ou , on retrouve les équations de Hamilton précédentes.

Les équations et les crochets de Poisson sont à la base des équations fondamentales de la mécanique matricielle, les équations de Heisenberg.

En particulier, les crochets de Poisson sont des invariants canoniques, car ils ne changent pas de forme lors d'une transformation canonique. Ils possèdent la propriété remarquable suivante :

          
          

avec  si et 0 dans le cas contraire.

Transposée sous forme de matrices, ou d'opérateurs, et faisant intervenir la constante de Planck, cette relation est la clé de la quantification des systèmes mécaniques comme Born et Dirac l'ont montré.

En effet, cette relation deviendra sous forme d'opérateurs :

 
 

avec cette fois-ci  n'indiquant pas un indice mais le nombre imaginaire habituel.

Si    ne dépend donc plus implicitement du temps et que 

 
 

alors d'après les équations de Poisson c'est que

La quantité    est donc constante dans le temps et c'est donc ainsi que l'on obtient des lois de conservations dans le formalisme Hamiltonien.

En particulier, c'est bien la conservation de l'énergie que l'on obtiendra en posant  égale à .

Pour finir, il existe une équation forte importante en mécanique Hamiltonienne car elle relie les formalismes de Hamilton et de Lagrange.

C'est l'équation de Hamilton-Jacobi.

Carl Gustav Jacobi (1804 - 1851)

Les équations de Lagrange sont dérivables à partir de la condition que la fonction

soit un extremum pour toutes les variations ( en un sens précis) des coordonnées de positions et de vitesses d'un système mécanique possédant un Lagrangien, entre deux dates séparant des états de mouvement du système mécanique considéré.

Cette fonction est appelée l'action, elle permet d'écrire les équations suivantes :

 
 

La première est précisément l'équation de Hamilton-Jacobi et elle est reliée à l'intégration des équations de Hamilton précédentes.

C'est cette équation qui permettra à Schrödinger de développer sa mécanique ondulatoire.

Pour aller plus loin :

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