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Une énigme résolue autour du théorème « no-go » de Bohr-van Leeuwen

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Le théorème de Bohr-van Leeuwen rend impossible l'existence du magnétisme de la matière lorsque l'on peut négliger les lois de la mécanique quantique. Il devrait normalement interdire l'influence du champ magnétique sur la cristallisation d'un plasma, comme ceux rencontrés dans des astres compacts. Or, les simulations numériques contredisent cette idée, ce qui constituait jusqu'ici une énigme. Des chercheurs allemands viennent de comprendre pourquoi, sans sortir du cadre du fameux théorème.

Dans sa thèse de 1911, Niels Bohr a le premier formulé ce que l'on connaît maintenant sous le nom de théorème de Bohr-van Leeuwen. Il rendait impossible l'existence des aimants, et plus généralement du magnétisme de la matière, dans le cadre de la physique classique. On peut penser que cette découverte a persuadé Bohr que l'on ne comprendrait pas les atomes sans de nouvelles hypothèses physiques. En 1913, il a ensuite proposé son célèbre modèle quantique de l'atome. © Wikipédia, DP

La découverte que viennent de faire trois chercheurs allemands des universités de Düsseldorf et Kiel montre à nouveau qu'il faut être prudent avec ce qu'on appelle en physique des « théorèmes no-go ». Il s'agit de démonstrations, reposant sur certaines hypothèses bien spécifiques, que tel ou tel effet ne peut pas exister dans le cadre d'une théorie physique ou d'un modèle phénoménologique associé.

L'un des plus célèbres est le théorème de Cowling énoncé en 1934. Il a constitué une désagréable surprise pour les géophysiciens de l'époque qui tentaient d'expliquer l'origine du champ magnétique de la Terre à l'aide d'une dynamo auto-excitée en liaison avec la rotation de notre planète. Ils ont fini par s'apercevoir qu'il suffisait d'introduire des mouvements turbulents dans la partie liquide du noyau de la Terre pour échapper à ce théorème qui semblait réfuter la thèse de la dynamo.

L'article publié par les trois physiciens dans les Physical Review Letters porte lui sur un autre célèbre théorème d'impossibilité, aussi rencontré dans les recherches sur l'origine du magnétisme (en l'occurrence celui des matériaux) : le théorème de Bohr-van Leeuwen.

Des courants ampériens au ferromagnétisme de Weiss

Pour comprendre de quoi il s'agit, il faut se souvenir qu'au début du XXe siècle, Paul Langevin avait repris l'hypothèse d'Ampère sur l'existence de petites boucles microscopiques de courants dans la matière, pour expliquer le paramagnétisme et le diamagnétisme à l'aide de la toute jeune théorie des électrons d'Hendrik Lorentz. En 1907, un autre chercheur français, Pierre Weiss, avait lui proposé une théorie pour rendre compte du ferromagnétisme des aimants.

De gauche à droite Albert Einstein, Paul Ehrenfest, Paul Langevin, Heike Kamerlingh Onnes et Pierre Weiss en 1920 (chez Onnes). Ces quatre physiciens se sont intéressés aux propriétés magnétiques de la matière. © Wikipédia, DP

Malheureusement, dès 1911, Niels Bohr démontrait que dans le cadre des équations de la physique classique de l'époque, c'est-à-dire la théorie électromagnétique de Maxwell-Lorentz complétée par la mécanique statistique de Boltzmann-Gibbs, les effets magnétiques des petites boucles microscopiques de courants associées aux atomes devaient se compenser en moyenne. Redécouvert quelques années plus tard par la physicienne Hendrika Johanna van Leeuwen, ce théorème aujourd'hui connu sous le nom de Bohr-van Leeuwen rendait donc impossible l'existence du ferromagnétisme, du paramagnétisme et du diamagnétisme dans le cadre de la physique classique.

Le magnétisme de la matière, une histoire de quanta

Mais comme l'explique dans sa conférence au Nobel le physicien John H. van Vleck (qui a donné une formulation plus aboutie du théorème de Bohr-van Leeuwen en 1932), la découverte par Bohr en 1913 du modèle quantique de l'atome, et finalement de la mécanique quantique, allait tout changer. On sait maintenant que le magnétisme de la matière est un phénomène proprement quantique. Le théorème de Bohr-van Leeuwen ne peut donc plus être invoqué pour rejeter les modèles de Langevin et Weiss, convenablement complétés par des hypothèses de nature quantique.

Toutefois, ce théorème doit s'appliquer à des phénomènes classiques, comme celui d'un plasma constitué de particules chargées et qui peut cristalliser lorsqu'on le refroidit. Torben Ott, Michael Bonitz et Hartmut Löwen ont cherché à simuler ce qui se passait lorsque l'on refroidissait un tel plasma en présence d'un champ magnétique. L'application sans précautions du théorème de Bohr-van Leeuwen leur avait fait prédire que le champ magnétique ne devait empêcher en aucune façon la formation d'un état cristallin. Mais, au lieu de la cristallisation rapide attendue, les physiciens ont constaté que le plasma passait par un état liquide qui persistait très longtemps si un fort champ magnétique était présent.

Ils en ont compris la raison. Le plasma « trichait » avec le théorème de Bohr-van Leeuwen. Celui-ci suppose, pour s'appliquer, qu'un système atteigne une sorte d'état d'équilibre, un peu comme une bille qui roule dans une cuvette et finit par s'immobiliser au fond de celle-ci. En reprenant cette image, c'est-à-dire en associant l'état de la bille dans une cuvette à l'évolution du plasma vers un état d'équilibre caractérisé par une énergie minimale, on constate qu'au lieu de tomber directement au centre de la cuvette, la bille tourne en cercles de plus en plus petits autour de ce centre. Transposé dans le cas du plasma, cela se traduit par l'apparition d'un long temps pendant lequel le champ magnétique empêche l'apparition d'un état cristallin.