Un parquet dessine un pavage de Penrose. C'est une belle illustration d'une possibilité théorique prospectée par Yves Meyer, les cristaux quasipériodiques, qui ont finalement été découverts dans la nature. La théorie de leur description peut aussi servir au traitement du signal. © CNRS

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Le prix Abel de mathématiques décerné à Yves Meyer

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Par Jean-Luc Goudet, Futura

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Récompense méritée pour le mathématicien Yves Meyer, principal inventeur des « ondelettes », cet outil qui permet de compresser les images au format JPeg 2000. Mais cette technique de traitement du signal, venue de la géologie, va bien au-delà, complétant en quelque sorte les transformées de Fourier, et a trouvé bien d'autres applications dans les sciences et les technologies. Les pavages de Penrose, eux aussi, doivent beaucoup à cet homme, chercheur éclectique.

Déjà distingué en 2010 par le prix Gauss et en 1970 par le prix Salem, le mathématicien français Yves Meyer vient de recevoir le prix Abel, décerné chaque année depuis 2003 par l'académie norvégienne des sciences. À l'égal de la médaille Fields, qui a honoré Cédric Villani en 2010, cette récompense est considérée du niveau d'un prix Nobel, lequel n'existe pas pour les mathématiques.

C'est très justement qu'elle est attribuée à Yves Meyer, enseignant-chercheur éclectique, pour son travail décisif sur les « ondelettes ». Cet outil, né dans le domaine du traitement du signal, a trouvé de multiples applications, notamment dans la compression de données. Quand, sur Internet, une image apparaît d'abord floue puis devient de plus en plus nette, c'est qu'elle a été comprimée avec la méthode des ondelettes, incorporée au protocole JPeg 2000. Mais elle a aussi servi à extraire des données sorties de l'interféromètre géant eLigo le signal faible et perturbé qui trahissait le passage d'ondes gravitationnelles.

Yves Meyer. © B. Eymann, Académie des sciences

Les ondelettes, un outil puissant de traitement du signal

Le procédé est celui d'une décomposition d'un signal en éléments simples, les ondelettes (nom de baptême inventé par Yves Meyer). Comme une note, c'est une sorte de brève vibration, qui apparaît et oscille. Son amplitude augmente durant un court laps de temps et s'atténue ensuite. La courbe est symétrique de part et d'autre du pic et également en positif et en négatif autour de la valeur 0.

Imaginé par un géophysicien, Jean Morlet (voir l'encadré Le saviez-vous ?), un procédé, du type de l'analyse de Fourier, semblait pouvoir décomposer un signal quelconque en ondelettes. Yves Meyer a formalisé cette technique en introduisant les bases orthonormées d'ondelettes, un système qui permet de fixer les coordonnées d'une portion du signal et d'effectuer sur lui différentes opérations. Avec Alex Grossmann, Stéphane Mallat et Ingrid Daubechies, la technique s'est ensuite améliorée pour devenir plus rapide, élément clé de sa banalisation.

Les ondelettes s'utilisent à la manière des transformées de Fourier, pour décomposer un signal, mais elles ont un grand avantage. Alors que le procédé de Fourier fonctionne d'autant mieux (c'est-à-dire avec le moins possible de perte d'information) que la fonction est plus régulière, les ondelettes donnent de très bons résultats même avec des signaux très irréguliers. Elles font désormais partie des outils de traitements des signaux et permettent, entre autres, une compression efficace car elles fournissent en quelque sorte une série de représentations à des échelles différentes.

Yves Meyer a aussi aidé les pavages de Penrose

Le processus est visible sur une image, quand les détails de plus en plus fins apparaissent successivement. On peut alors, par exemple, supprimer ceux que la résolution de l'écran ne pourra de toute façon pas restituer. Ce procédé a des implications bien plus larges et permet de réaliser de multiples opérations sur un signal. Il a d'ailleurs depuis été complété par les « ridgelettes » et autres « bandelettes ».

Le Journal du CNRS relate le parcours scientifique de cet homme, qui, explique-t-on, accorde une grande importance à l'enseignement. Original, son itinéraire l'a conduit sur les pavages de Penrose. Sa théorie des ensembles modèles a permis la description des « quasicristaux », c'est-à-dire des alliages aux propriétés voisines de celle d'un cristal alors que leur structure n'est pas périodique. Lesquels ont valu le prix Nobel de chimie 2011 à Daniel Shechtman. Ces ensembles modèles peuvent aussi servir au traitement du signal. Bref, la science et la technologie doivent déjà beaucoup à Yves Meyer...

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