Quand le général romain Marcellus prit la ville de Syracuse en 212 avant notre ère, un de ses soldats tua Archimède malgré les ordres donnés de l’épargner. Marcellus lui dressa alors une tombe ornée d’une sphère inscrite dans un cylindre. Pourquoi ?

Selon CicéronCicéron (106 à 43 avant notre ère) -- qui raconte dans Les Tusculanes comment il a découvert la tombe d'ArchimèdeArchimède grâce à une sphère inscrite dans un cylindre --, il s'agissait de la volonté d'Archimède. Ce même souhait a été relaté plus tard par Plutarque (46 - 125) dans La vie des hommes illustres. Pourquoi ce désir étrange ?

Le tombeau d'Archimède par Benjamin West 1738-1820. © Yale University Art Gallery, Wikimedia commons, Domaine Public
Le tombeau d'Archimède par Benjamin West 1738-1820. © Yale University Art Gallery, Wikimedia commons, Domaine Public

Sphère et cylindre circonscrit 

La sphère S de centre O et de rayon R est l'ensemble des points M tels que la distance de O à M soit égale à R. Si on coupe S par un plan passant par O, on obtient un cercle C. Ce cercle C s'inscrit dans un carré de côté 2R.

Schéma de la sphère S. © Éditions Flammarion
Schéma de la sphère S. © Éditions Flammarion

En faisant tourner cette figure autour de son axe vertical (en pointillés rouges), on obtient une sphère inscrite dans un cylindre, la figure demandée par Archimède pour sa tombe.

Schéma de la sphère inscrite dans le cylindre. © Éditions Flammarion
Schéma de la sphère inscrite dans le cylindre. © Éditions Flammarion

Le plus grand accomplissement d’Archimède

Pour Archimède, son plus grand accomplissement était d'avoir trouvé puis démontré de manière rigoureuse que le volume de la sphère était égal aux deux tiers de celui du cylindre.

De nos jours, ce résultat se vérifie à partir des deux volumes, 4/3 ∏R3 pour la sphère et l'aire du disque de rayon R(∏R2), multipliés par la hauteur (2R) du cylindre, soit 2∏ (R3) pour celui-ci. Du temps d'Archimède, le calcul était plus compliqué. Il trouva le résultat par une « pesée » mentale, impliquant la mécanique, et le prouva par la méthode d'exhaustion inventée par Eudoxe de Cnide (409 - 356 avant notre ère) consistant, dans ce cas, à considérer le volume V de la sphère et celui V' du cylindre et de montrer que les deux inégalités 2/3 V > V' et 2/3 V < V' sont également impossibles. Pour cela, il utilisait des approximations de ces volumes par ceux d'objets plus simples.