Comment un nombre peut-il être imaginaire ?

De nos jours, les nombres imaginaires sont les multiples du nombre i vérifiant i² = -1. Comment a-t-on pu imaginer un nombre dont le carré est négatif ? Et pourquoi ?

Des défis algébriques à la Renaissance

En Italie, à la Renaissance, on aimait se lancer des défis mathématiques. En voici un exemple, posé par DelDel Fiore à Tartaglia : Un usurier prête un capital à la condition qu'à la fin de l'année on lui paye pour intérêt la racine cubique du capital. À la fin de l'année, l'usurier reçoit 800 ducats, capital et intérêt. Quel est ce capital ?

Le problème menait à une équationéquation de degré trois, que Tartaglia sut résoudre grâce à une méthode qu'il tenait secrète et qui consistait à la ramener à une équation du second degré. Un autre mathématicien italien, Rafaele Bombelli, eut l'idée d'appliquer cette méthode à l'équation x³ = 15 x + 4. Elle menait à l'équation auxiliaire X² = -121, équation a priori impossible puisqu'un carré est toujours positif ! Bombelli ne s'arrêta pas là et estima que la solution était égale à 11√-1. En continuant ainsi, Bombelli trouva la solution x = 4 ... qui est bien exacte.

Le calcul géométrique. © Geralt, DP

Des nombres imaginaires aux nombres complexes

Ainsi, un calcul a priori absurde sur des nombres impossibles menait à un résultat exact ! En fait, de nouveaux nombres étaient nés sans que l'on comprenne bien ce qu'ils pouvaient signifier. Ils donnaient des résultats corrects que l'on pouvait vérifier, c'est pourquoi ils furent admis dans la grande famille des nombres. Descartes les nomma « imaginaires » pour les distinguer des autres qui, à cette occasion, devinrent les nombres réels. Un concept était né de pures manipulations algébriques.

La notation √-1 utilisée par Bombelli n'est plus guère admise, on lui préfère la notation i proposée par Euler au XVIII^e siècle, i étant l'initiale d'imaginaire. Le nom de « complexe » vient de Gauss pour qui les mathématiques étaient ancrées dans la réalité et qui n'appréciait donc pas le terme d'imaginaire.