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Jouer avec le triangle d'or

Dossier - Le nombre d'or
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Ce nombre si extraordinaire qu'il a normalement suscité, depuis longtemps, des interprétations philosophiques et hautement symboliques jusqu'à être pris pour la conception de l'univers.

  
DossiersLe nombre d'or
 

Reprenons le triangle d'or que nous venons de construire. C'est pour ce triangle qu'Euclide, dans Les éléments démontre géométriquement la construction d'un triangle isocèle dont chaque angle à la base est le double de l'angle au sommet et il montre la proportion « moyenne et extrême raison » du côté sur la base. 

Cœur de pomme, le triangle d'or. © Pexels, CCO

Rappelons-nous qu'ABC est appelé triangle d'or parce qu'il présente deux dimensions dont le rapport est le nombre d'or. Côté/base = Φ, ce que nous avons trouvé avec notre ficelle. 

Le triangle d'or. © DR

Jouer avec le triangle d'or

Pour construire la figure 2, partons du triangle ABC. Complétons la figure 1 en prolongeant l'arc de cercle de centre B et de rayon BC (en bleu) et en traçant aussi le cercle complet à partir du centre A.

Ces deux cercles se coupent en D et D'.

Il suffit de regarder la figure obtenue où l'on remarque :

  • BC = BD' = BD = AD = AF = AD' = AE qui, pour cette figure, sera = 1. Si BC = 1, nous avons AB = AC = 1,618 (d'après ce qui précède) ;
  • ABC, déjà vu, côté/base = Φ, triangle d'or dit « sublime » pour le différencier du triangle suivant ;
  • ABD, base (AB)/côté (AD) = Φ, triangle d'or appelé « divin » ;
  • Triangle ABD', identique à ABD avec lequel il forme un losange d'or dont la diagonale AB et un côté sont dans le rapport Φ ;
  • AECBD est un pentagone régulier formé par un triangle sublime et deux triangles divins. Sa diagonale AB/le côté BC = Φ ;
  • Le triangle sublime ABC peut se décomposer en deux triangles : le triangle AD'B qui est divin et le triangle BD'C qui est sublime.
La figure 3 représente les triangles d'or que l'on peut facilement tracer et qui forment les quatre pièces du puzzle que j'ai créé et qui passionne mes petites filles (Maylis, 6 ans et Carla 4 ans).
 Le triangle au cœur du puzzle.