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On a fabriqué la mousse de l'extrême de Weaire-Phelan

ActualitéClassé sous :physique , Mathématiques , problème de Plateau

Simple concept mathématique, issu de vieilles questions sur le caractère optimal des formes et des mouvements dans la nature, la mousse de Weaire-Phelan a finalement été fabriquée en laboratoire. Elle constitue une partition extrêmale de l'espace en bulles de volumes et surfaces appropriés.

Une photo de la mousse de bulles exhibant la structure de Weaire-Phelan. © Ruggero Gabbrielli

La physique des bulles fascine certains chercheurs depuis des siècles et elle a même fait l'objet d'expériences à bord de l'ISS. Il se trouve que depuis le XIXe siècle elle est en connexion avec une branche des mathématiques créée par Euler et Lagrange, le calcul variationnel. Avec ce dernier, on peut explorer de façon générale des questions d'optimisation pour des systèmes physiques.

Par exemple, quelle est la trajectoire permettant de se rendre d'un point à un autre en un temps minimal étant donné la vitesse d'un mouvement, ou quelles formes doit prendre à l'équilibre un objet élastique soumis à des contraintes mécaniques ?

Joseph Plateau devant ses bulles. © Denis Weaire-Ken Brakke

C'est dans le cadre de ces questions que le mathématicien et physicien belge Joseph Plateau a conduit au XIXe siècle des expériences minutieuses avec des films de savon, s'appuyant sur des cadres en fil. À partir de ses observations, il a déterminé un ensemble de règles qui régissent l'équilibre des films de savon et des mousses. Voici les trois principales :

  • trois films de savon se rencontrent selon un angle de 120 degrés ;
  • les films forment une surface courbe triangulaire nommée bord de Plateau ;
  • quatre bords de Plateau se rencontrent selon un angle de 109,6 degrés pour former un sommet.

Ces règles permettent d'explorer divers cas de ce qu'on appelle le problème de Plateau, qui consiste à montrer, un bord étant donné, l'existence d'une surface minimale s'appuyant sur ce bord (il fut en réalité posé une première fois par Joseph-Louis Lagrange en 1760). On le trouve associé à des travaux menés par une autre grande figure de la physique du XIXe siècle : Lord Kelvin.

Lord Kelvin avec une représentation de deux cellules de Kelvin. © Denis Weaire

Une mousse de bulles d'éther

Le chercheur s'interrogeait sur des modèles purement mécaniques du champ électromagnétique de Maxwell-Faraday ainsi que sur la possibilité que les différents atomes de matière soient des configurations du milieu élastique et fluide supposé être à la base de ce champ : l'éther

On sait aujourd'hui que l'éther n'existe pas, ou plutôt, pour reprendre les propos d'Einstein, qu'il n'est pas un milieu matériel doué de mouvements identiques à ceux des fluides et des cristaux. Mais ceci, avant la découverte par Einstein de la théorie de la relativité restreinte, Kelvin ne pouvait pas le savoir.

Ses réflexions l'ont donc conduit à chercher quelle devrait être la forme des bulles remplissant uniformément l'espace et constituant une sorte de mousse d'éther, minimisant la surface totale des bulles pour un volume donné. C'est un problème équivalant à une question d'équilibre d'un milieu élastique, minimisant son énergie, comme c'est toujours le cas pour ces questions. Incidemment, de nos jours, cette question n'est pas sans rapport avec les spéculations de John Wheeler sur la structure en écume de l’espace-temps en gravitation quantique.

Les deux cellules de Kelvin représentées ici constituent le début d'une partition de l'espace que Kelvin conjecturait être la solution à son problème. © Denis Weaire

Kelvin  trouva une réponse à son problème sous la forme d'un octaèdre régulier tronqué en ses sommets de sorte qu'apparaissent 8 faces hexagonales régulières (issues des 8 triangles équilatéraux de l'octaèdre) et 6 faces carrées (les bases des petites pyramides qui ont été enlevées). En fait, Kelvin conjecturait qu'il s'agissait de la bonne solution, sans pouvoir le démontrer. Des dizaines d'années plus tard, les mathématiciens étaient en général d'avis qu'il n'y avait pas d'autre solution au problème de Kelvin.

Ils avaient tort...

La structure de Weaire-Phelan

En 1994, Denis Weaire et Robert Phelan, du Trinity College de Dublin, annonçaient avoir obtenu une partition de l'espace avec des bulles possédant une surface totale plus faible que dans le cas de la solution de Kelvin. En fait, la structure répondant à la demande de Kelvin existe naturellement et était bien connue des chimistes. On la trouve chez les clathrates, des composés chimiques constitués par un complexe d'inclusion formé d'une ou plusieurs « molécules-hôtes » qui emprisonnent une autre molécule dans une sorte de cage moléculaire.

Le plus connu est l'hydrate de méthane, la fameuse glace qui s'enflamme, que l'on trouve au fond des océans et qui constitue un puissant gaz à effet de serre.

La structure de Weaire-Phelan est formée de deux cellules de même volume chacune, constituant l'unité de base d'une partition de l'espace résolvant le problème de Kelvin plus efficacement qu'avec la solution que le chercheur avait trouvée il y a plus d'un siècle. © Denis Weaire

Curieusement, jamais personne n'était parvenu à créer une vraie mousse de bulles concrétisant la structure de Weaire-Phelan. Ruggero Gabbrielli, un physicien de l'université de Trente, était en visite à Dublin pour travailler avec ses collègues Denis Weaire et Robert Phelan, lorsqu'il s'est avisé que les échecs rencontrés étaient probablement dus à une forme inadéquate du container utilisé pour tenter d'obtenir la mousse recherchée. En compagnie de Kenneth Brakke, à l'origine du programme d'ordinateur qui avait servi à découvrir la structure de Weaire-Phelan, Gabbrielli a déterminé la forme du container nécessaire à l'expérience.

Les physiciens ont effectivement vu la mousse de bulles de Weaire-Phelan se former. L'article exposant leurs travaux sera disponible sous peu dans le même journal où Kelvin avait publié en 1887 la première solution à son problème : Philosophical Magazine Letters.

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