Le physicien allemand Werner Heinsenberg (1901-1976) a révolutionné la physique en découvrant en 1925 la mécanique quantique matricielle. On le voit ici expliquer la théorie quantique en 1936. Heisenberg avait rejeté la notion de trajectoire pour les électrons circulant au sein d'un atome, jetant ainsi les bases d'une nouvelle conception de la géométrie de l'espace et du temps, et pas seulement d'une nouvelle physique de la matière et du rayonnement. © AIP Emilio Segre Visual Archives
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Helgoland : dans les pas d'Heisenberg, en quête du sens de la mécanique quantique

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Les équations de la physique quantique sont déraisonnablement efficaces pour décrire les propriétés de la matière et du rayonnement. Mais le débat dure toujours quant à savoir à quelle image du monde et de la réalité elles correspondent. Ce n'est pas qu'un problème de physique théorique mais aussi de philosophie, comme les découvreurs de la mécanique quantique le savaient bien. Les éditions Flammarion publient aujourd'hui un livre pour le grand public où l'un des grands chercheurs de notre temps nous explique pourquoi c'est en marchant dans les pas de Heisenberg, et non de Schrödinger, que l'on peut plus facilement donner sens au vertigineux monde quantique. Il nous invite à le suivre dans son exploration.

En ce début d'année 2021, Futura avait consacré un article au livre de Brian Greene publié aux éditions Flammarion. Greene est un des théoriciens de la physique moderne ayant participé aux développements de la théorie des supercordes et dans son ouvrage il montrait que les questions et angoisses philosophiques et existentielles ne lui étaient nullement étrangères et que la science moderne pouvait contribuer à les éclairer.

Flammarion publie aujourd'hui un autre contre-exemple encore plus cinglant à ceux qui soutiendraient que la science ne pense pas et qu'elle n'est pas consciente de ses racines et implications philosophiques lorsqu'elle réfléchit notamment à la nature de l'espace, du temps, de la matière. Racines et implications qui ne sauraient d'ailleurs être l'objet de réflexion que de philosophes, n'ayant en plus pas besoin d'une formation de haut niveau en science pour cela.

Certes, dans un célèbre texte à l’occasion des 60 ans de Max Planck, Einstein reconnaissait lui-même qu'une minorité seulement de la communauté scientifique était vraiment la forme moderne des présocratiques, de Platon et d'Aristote. Mais il est incontestable que presque tous les grands créateurs de la physique théorique moderne avant 1930 se préoccupaient de philosophie, connaissaient bien plusieurs auteurs, de Platon à Schopenhauer, et que l'on ne saurait séparer leurs travaux scientifiques de leurs réflexions et connaissances dans ce domaine.

Gerald Holton, titulaire à la fois d'une chaire de physique et d'une chaire d'histoire de la physique à l'université Harvard, explique d'ailleurs dans son célèbre ouvrage L'imagination scientifique que Niels Bohr était influencé dans ses travaux sur la théorie quantique de l'atome par ses lectures de William James et Søren Kierkegaard (sur ce dernier point voir aussi p. 100 de l'ouvrage du physicien Franco Selleri, Le Grand débat de la théorie quantique). Inversement, au même moment, plusieurs grands philosophes, il est vrai également de grands scientifiques, comme Bertrand Russell et Pierre Teilhard de Chardin, prenaient acte des révolutions relativiste et quantique et en tiraient des conclusions, ou des inspirations, sur la nature fondamentale de la réalité.

Dans son ouvrage L’analyse de la matière, Russell cherchera par exemple à penser les particules élémentaires, comme l'électron, avant tout - et peut-être seulement - comme un moyen commode d'organiser une série d’événements pouvant être connectés par une ligne causale dans l'espace-temps relativiste. Ce qui lui donnera une raison de plus, hors ses travaux sur la logique mathématique, de remettre en cause la catégorie de la substance héritée d'Aristote, et ses avatars au cours des millénaires suivant aussi bien chez Spinoza que chez Leibnitz.

Mais ne faisons pas durer le suspense plus longtemps. Quel est donc le très remarquable ouvrage que Flammarion a publié récemment et quel est son auteur ?

Dans son nouvel opus, Carlo Rovelli se fait volontiers passeur pour mieux nous raconter la « quantique » et en proposer aussi son interprétation personnelle, fruit d’une vie de recherche. Avec ce merveilleux message : la réalité est profondément différente de ce que nous imaginons. © Flammarion

Werner Heisenberg ou la poésie de la Physique

L'ouvrage s'appelle Helgoland et son auteur n'est rien de moins que Carlo Rovelli, l'un des créateurs de la théorie de la gravitation quantique à boucles (loop quantum gravity ou LQG, en anglais), l'une des principales théories quantiques de la gravitation développée pour percer les secrets les plus fondamentaux des trous noirs, du Big Bang et de l’écume de l’espace-temps. Cette théorie a pris son essor au milieu des années 1990, principalement avec les travaux conjoints de Carlo Rovelli et Lee Smolin, eux-même basés sur ceux d'Abhay Ashtekar et du prix Nobel de physique Roger Penrose.

Le grand public connaît sans doute mieux Carlo Rovelli par ses livres de vulgarisation scientifique comme Sept brèves leçons de physique, qui a été traduit en 41 langues et vendu à plus d'un million d'exemplaires, ou plus récemment et également publié chez Flammarion, L'Ordre du temps.

Helgoland, en français Heligoland, est un archipel d'Allemagne situé dans le sud-est de la mer du Nord. Selon Baudelaire, « la Nature est un temple où de vivants piliers laissent parfois sortir de confuses paroles » et il n'est peut-être pas anodin de se rappeler que la science occidentale est née dans un environnement marin, avec par exemple un Pythagore qui lui-même voyageait dans les îles grecques. En 1925, un jeune allemand qui séjournait sur cette île d'Helgoland a soudainement compris une partie de ces paroles, ouvrant l'accès au monde quantique. Il s'appelait Werner Heisenberg et il n'avait que 23 ans.

Rappelons que la théorie quantique rend compte en premier lieu de la stabilité des atomes et de leurs propriétés chimiques, ainsi que de celles de la production et de la transformation de la lumière. Elle explique la supraconductivité, le laser, la fusion thermonucléaire dans les étoiles, l'existence de l'antimatière et des naines blanches, sans doute également la naissance de la matière et des galaxies... et peut-être même la naissance de l’Univers et la nature profonde de la pensée consciente.

On peut lire en ligne le tout début de l'ouvrage de Carlo Rovelli en quatre parties. En introduction il explique au lecteur son but : « J'ai écrit ces pages en premier lieu pour ceux qui ne connaissent pas la physique quantique et qui sont curieux de comprendre ce qu'elle est et ce qu'elle implique, pour autant que nous en soyons capables. J'ai essayé d'être aussi concis que possible, en laissant de côté tout ce qui n'est pas essentiel, afin de saisir le cœur du problème ».

Et il ajoute : « Mais j'ai aussi écrit ce livre en songeant à mes collègues scientifiques et philosophes, dont la perplexité s'accroît au fur et à mesure que leur connaissance de la théorie s'approfondit. »

« Considérer la mécanique quantique sérieusement, réfléchir à ses implications est une expérience quasi psychédélique, qui nous force à renoncer, d'une manière ou d'une autre, à quelque chose qui nous semblait solide et inattaquable dans notre compréhension du monde. Il nous faut accepter que la réalité est profondément différente de ce que nous imaginions. Plonger notre regard dans l'abîme, sans craindre de sombrer dans l'insondable. »

Dans cet extrait d'un documentaire, on voit Heisenberg expliquer que s'il est probable que pour bien des physiciens l'apport le plus important de la physique quantique a été les technologies qui en découlent et en particulier celles en rapport avec la physique nucléaire, il a toujours eu une autre vision à son sujet. Pour lui et depuis le début de ses réflexions sur le monde des atomes, ce sont les conséquences philosophiques sur la nature de la réalité et donc indirectement de la place de l'Homme dans l'Univers, qui devaient avoir un impact majeur et à long terme, du moins le croyait-il au début. © ARD-alpha

On peut dire que c'est une réussite (et d'un tour de force qui s'apprécie d'autant mieux que l'on connaît déjà le sujet mais qui ne le présuppose pas du tout). Il y est bien sûr question de la fameuse superposition des états et de leur intrication quantique avec des objets qui semblent pouvoir être dans deux endroits ou deux états à la fois, comme dans le cas du paradoxe du chat de Schrödinger. Il y est donc question aussi d'amplitude de probabilité pour les photons et d'ondes de matière mais également, et c'est plus original, de la théorie matricielle de l'atome et donc des découvertes et des idées propres à Heisenberg.

Carlo Rovelli réussit ainsi un distillat particulièrement pur et élégant de l'histoire et des concepts de la théorie quantique tout en ouvrant au lecteur des chemins philosophiques en rapport avec la mécanique quantique. Certains pourront surprendre le lecteur puisqu'il y est aussi bien question du matérialisme et de l'empiriocriticisme vus par Lénine que du bouddhisme vu par Nāgārjuna. C'est l'occasion pour Carlo Rovelli de mettre en avant l'interprétation de la mécanique quantique qu'il développe, qui lui semble la plus appropriée pour percer tous les mystères d'une théorie quantique de la gravitation, et qui a été appelée l'interprétation relationnelle de la mécanique quantique.

Ces réflexions à la frontière d'une dialectique fructueuse entre la physique moderne et la philosophie classique sont, on l'a dit d'entrée de jeu de cet article, aussi vieilles que la mécanique quantique elle-même. En leur temps, aussi bien Werner Heisenberg qu'Erwin Schrödinger, qui allait découvrir juste après Heisenberg sa solution de l'énigme des phénomènes quantiques, ont écrit des textes et des livres sur ce sujet.

Remarquablement, dans le premier chapitre de son opus largement autobiographique, La Partie et le Tout, Heisenberg explique que de 1919 à 1920, son esprit nourri de mathématique, de philosophie et de musique (un cursus que n'aurait pas renié Platon et sans doute pas non plus Archytas de Tarente) allait être fasciné par les idées exposées dans le Timée de Platon, idées qui allaient contribuer à le préparer à faire ses grandes découvertes au cours des années 1920. Selon elles et leurs avatars modernes, les atomes ne devaient pas être des objets que l'on peut visualiser dans l'espace et dans le temps mais devaient être des structures des phénomènes observables dont la substance et la beauté harmonique étaient de nature mathématique.

Un documentaire complet sur la vie de Heisenberg, qui montre Helgoland et parle du rôle de la lecture du Timée de Platon pour Heisenberg. Pour obtenir une traduction en français parfois assez fidèle, cliquez sur le rectangle blanc en bas à droite. Les sous-titres en allemand devraient alors apparaître. Cliquez ensuite sur l'écrou à droite du rectangle, puis sur « Sous-titres » et enfin sur « Traduire automatiquement ». Choisissez « Français ». © ARD-alpha

Werner Heisenberg et une réalité au-delà de l'espace et du temps

Mais ces idées ne seront pas suffisantes pour qu'Heisenberg puisse pénétrer l'arkhè des processus de l'interaction entre matière et rayonnement. Il lui faudra plonger dans l'abîme de Démocrite et reprendre à son compte la méthodologie épistémologique empiriste et positiviste issue des réflexions de Ernst Mach que le jeune Einstein avait déjà utilisée pour découvrir sa théorie de la relativité restreinte. Paradoxalement, l'approche de Mach et son positivisme qui se veut anti-métaphysique et ne décrire la réalité qu'à partir des données de l'expérience, renvoie dos à dos aussi bien le point de vue matérialiste que le point de vue idéaliste. Ce n'est pas si étonnant quand on y réfléchit bien car cela revient à prendre conscience que nous ne devons pas tenir pour acquis que nous savons nécessairement a priori quelle est la nature de la réalité ni l'étendue du pouvoir de connaissance de l'esprit humain. Ces questions, voire énigmes, ne peuvent espérer trouver de réponses que sur une base empirique justement et toute spéculation à leur sujet est nécessairement au départ un préjugé métaphysique dont il convient de s'affranchir.

Le nom d'Heisenberg est certes très connu notamment pour sa découverte des relations et du principe d'incertitude mais que les physiciens appellent plus sobrement et plus justement les inégalités de Heisenberg. Force est de constater toutefois que lorsque l'on parle de mécanique quantique c'est le nom de Schrödinger qui est le plus souvent cité, avec son équation et son chat. On parle aussi beaucoup d'ondes quantiques alors pourquoi Carlo Rovelli a-t-il décidé de présenter et d'expliquer l'essence de la signification de la mécanique quantique en partant de Heisenberg ?

Futura lui a posé la question et quelques autres également. Voici une série de transcriptions « non-verbatim » du contenu de ses réponses.

« J'ai choisi Heisenberg parce que je considère que l'on fait une erreur en enseignant et en expliquant la théorie quantique en mettant trop l'accent sur la mécanique ondulatoire de Schrödinger. Cela donne l'impression que la mécanique quantique décrit essentiellement des propagations d'ondes dans l'espace et dans le temps, même si ces ondes ne sont pas celles de la physique classique et qu'on doit leur associer des aspects corpusculaires d'une façon qui n'est pas intuitive.

La physique quantique ne se réduit pas à ces ondes et l'approche de Heisenberg, avec des équations qui permettent de retrouver des résultats qui sont équivalents à ceux de Schrödinger, est plus profonde car elle montre notamment plus directement que la physique des phénomènes du monde ne peut plus se penser correctement et complètement en matière de mouvements de particules matérielles ou d'ondes avec des images concrètes dans l'espace et dans le temps.

D'une certaine façon, l'approche de Schrödinger est un pas en arrière.

Dans son article de 1925 où il va le premier utiliser des tableaux de nombres que l’on appelle des matrices pour mieux comprendre le comportement des systèmes atomiques avec leurs sauts quantiques entre des états d'énergie produisant des émissions et des absorptions des photons d'Einstein, Heisenberg explique clairement que pour résoudre les énigmes du monde quantique il faut abandonner le concept de trajectoire dans l'espace et dans le temps pour des électrons dans les atomes.

Le point de départ d'une théorie quantique qui s'appliquerait à toutes les manifestations possibles des systèmes atomiques, ce qui était problématique dans la vieille théorie quantique précédente, ne devait reposer que sur des équations reliant des grandeurs physiques directement mesurables et mesurées, en l'occurrence sur les fréquences et les intensités d'ondes lumineuses émises par les atomes et associées aux photons d'Einstein, et pas sur d'hypothétiques particules de matière se déplaçant selon des images classiques dans un atome ressemblant à un petit Système solaire. Il s'agissait de prendre modèle sur la démarche même d'Einstein inspirée par la philosophie de Ernst Mach. Le père de la théorie de la relativité était en effet parti d'une remise en cause de la notion absolue de simultanéité et d'écoulement universelle du temps en se concentrant sur la description des mesures de temps associées à des événementssupprimant des hypothèses qui n'avaient en fait pas de bases expérimentales. »

On ne peut s'empêcher de penser que la réponse de Carlo Rovelli est un écho à un passage de la préface d'un des principaux ouvrages où il a appris la mécanique quantique et que l'on doit à un autre de ses découvreurs, le physicien anglais Paul Dirac : « La tradition de la physique classique a été de considérer que le monde était une association d'objets observables (particules, fluides, champs, etc.) se déplaçant selon des lois de forces définies, de sorte que l'on pouvait se faire une image mentale dans l'espace et dans le temps de l'ensemble du tableau... Il est devenu de plus en plus évident récemment, toutefois, que la nature fonctionne sur un plan différent. Ces lois fondamentales ne gouvernent pas le monde comme il apparaît dans cette image mentale, mais à la place elle contrôle un substratum dont nous ne pouvons former une image mentale sans introduire des contradictions avec l'expérience. »

On peut trouver des déclarations analogues, ainsi qu'une défense de l'utilité de la philosophie pour comprendre le monde quantique, dans une série de cours que Heisenberg a donné aux États-Unis en 1929.

Explicitons un peu une partie du contenu des remarques de Carlo Rovelli. En 1925, Werner Heisenberg découvre donc les bases de la mécanique matricielle en remplaçant les nombres réels qui décrivent les positions et les vitesses des électrons, dans un atome ou une molécule, effectuant des mouvements oscillatoires et rayonnant pour cette raison, par des tableaux de nombres ne renvoyant plus à des images dans l'espace et dans le temps. La forme des équations de la mécanique classique décrivant l'évolution de ces grandeurs restant largement la même.

En 1926, Schrödinger reproduit les prédictions de Heisenberg mais en considérant que les électrons sont des ondes, ou plus exactement et probablement des concentrations dans une distribution continue de charge électrique capable de se comporter comme des ondes stationnaires ou progressives classiques dans un fluide, ou une cavité résonnante pour des ondes sonores. Il introduit la désormais célèbre fonction d'onde de la théorie quantique, et avec l'équation qu'il découvre gouvernant l'évolution de cette fonction dans l'espace et le temps il rétablit non seulement une image mentale intuitive des processus atomiques mais montre ensuite qu'il peut aussi retrouver les tableaux de nombres de Heisenberg. Mécanique matricielle et mécanique ondulatoire seraient donc deux formes équivalentes d'une seule théorie, la mécanique quantique (au cours des années 1960, Dirac va contester cette affirmation).

Mais, dans la suite de l'interview qu'il a donnée à Futura, Carlo Rovelli rappelle que la réalité est plus compliquée et que Schrödinger lui-même à la fin de sa vie reconnaîtra que sa démarche cherchant à ramener les discontinuités de la physique quantique à des phénomènes continus n'a finalement pas abouti.

Il convient également de rappeler que si Heisenberg a bien été à la source de la mécanique matricielle, il est loin de l'avoir constituée à lui tout seul.

Max Born (1882- 1970 ) est un physicien théoricien allemand, prix Nobel de Physique, principalement connu pour son importante contribution à la physique quantique, d’abord via la mécanique matricielle et ensuite avec la mécanique ondulatoire en étant le premier à donner au carré du module de la fonction d'onde de Schrödinger la signification d'une densité de probabilité de présence. © DP

« En 1925, Heisenberg était alors en quelque sorte en postdoctorat avec Max Born, qui connaissait bien Einstein et qui discutait fréquemment avec lui des développements de la théorie quantique. Einstein lui-même a été le premier à comprendre vraiment que les phénomènes quantiques nécessitaient une révolution théorique majeure pour être compris et ses contributions font de lui un des principaux créateurs de la théorie quantique.

C'est en fait Max Born, plus cultivé en mathématique que Heisenberg, qui comprend que les tableaux de nombres de Heisenberg ne sont rien de moins que ce que les mathématiciens appellent depuis le XIXe siècle des matrices et c'est lui qui va commencer à développer une théorie matricielle générale des équations de la mécanique classique sur cette base avec la collaboration d'abord de Pascual Jordan, puis de Heisenberg, dans une série de deux articles où l'on trouve déjà bien constituées, notamment dans ce qu'il est convenu d'appeler l'article des trois hommes, les équations modernes de la mécanique quantique sans faire intervenir la fonction d'onde de Schrödinger, bien que l'on puisse en déduire son équation.

Pascual Jordan (1902-1980) est un physicien théoricien allemand ayant également reçu une formation de haut niveau en mathématique au point d’avoir été l’assistant aussi bien de Max Born que de Richard Courant. Il contribua de façon décisive à la fondation de la mécanique quantique et de la théorie quantique des champs mais ne fut jamais lauréat du prix Nobel, s’étant compromis avec les nazis. © DP

C'est Max Born qui va montrer que toute la mécanique quantique, et donc implicitement les ondes de matière, les amplitudes de probabilité qui interfèrent, etc. sont contenues dans une relation fondamentale indiquant que le produit de certaines matrices associées à des grandeurs physiques comme la position et la vitesse d'un électron n'est pas commutatif.

Inspiré par le premier article de Heisenberg, Paul Dirac va développer une théorie similaire où il faut remplacer les c-nombres de la physique classique par des q-nombres quantiques dont le produit suit également les règles d'une algèbre non commutative.

Finalement, avant Schrödinger, Wolfgang Pauli va expliquer les niveaux d'énergie dans l'atome d'hydrogène en utilisant la mécanique matricielle constituée par Born, Heisenberg et Jordan. »

Il est digne d'intérêt de rappeler que la mécanique matricielle de Heisenberg résonne avec la géométrie non commutative découverte en étudiant les équations de la mécanique quantique par le lauréat de la Médaille Fields Alain Connes, qui s'en sert pour tenter d'unifier les lois de la physique des hautes énergies et tenter de construire une théorie quantique de la gravitation. Futura a consacré plusieurs articles à ces questions.

Dans cette conférence de la mini-série « Cosmology & Quantum Foundations » du projet Philosophy of Cosmology, Carlo Rovelli explique son interprétation de la mécanique quantique et ses implications pour la cosmologie quantique. Pour obtenir une traduction en français assez fidèle, cliquez sur le rectangle blanc en bas à droite. Les sous-titres en anglais devraient alors apparaître. Cliquez ensuite sur l'écrou à droite du rectangle, puis sur « Sous-titres » et enfin sur « Traduire automatiquement ». Choisissez « Français ». © PhilosophyCosmology

Carlo Rovelli est une interprétation relationnelle de la physique quantique

Si les équations et les méthodes symboliques utilisées en mécanique quantique ne font plus débat depuis le traité de John von Neumann et la théorie des distributions de Laurent Schwartz, il n'en est pas de même en ce qui concerne l'interprétation de ces équations et on pourrait presque dire que chaque physicien a son interprétation de la théorie quantique (elles tournent souvent autour du problème de la mesure d'un phénomène physique et du rôle de l'observateur dans la réalisation de cette mesure. Il y est question du statut de la fonction d'onde de Schrödinger et de son évolution bizarrement non continue et aléatoire à l'occasion d'un acte de mesure). Max Tegmark avait ainsi expliqué à Futura que pour lui c'est l'interprétation dite des mondes multiples qui serait la bonne.

Carlo Rovelli a proposé la sienne qui a reçu le nom d'interprétation relationnelle de la mécanique quantique et elle n'est pas sans rappeler les idées déjà avancées, il y a des siècles, par le mathématicien et philosophe Leibnitz pour qui l'espace n'était pas un réceptacle dans lequel les objets et les phénomènes prennent place mais au contraire dérive des relations entre eux. Cela résonne avec des intuitions de ce que serait une théorie quantique de l'espace-temps dans laquelle il existe d'abord avant l'espace et le temps des équations quantiques qui dictent ensuite comment des points et des événements physiques peuvent s'assembler pour former l'image continue de l'espace-temps classique, points et événements qui n'existent pas dans un espace-temps qui les précède.

Certaines des déclarations de Heisenberg et son mentor Niels Bohr peuvent laisser penser que l'observateur a une sorte de pouvoir sur la réalité qui dépendrait de son choix en théorie quantique. Les électrons et les atomes ne seraient pas vraiment réels et n'existeraient qu'en fonction de la conscience d'un observateur. Le New Age est rempli de développements fumeux sur ces idées qui ne reposent sur rien mais présentés comme des vérités démontrées par la physique quantique, laissant croire que l'esprit humain crée les aspects de la réalité qu'il désire et qu'il peut diriger des sauts quantiques à sa guise, par exemple pour se guérir d'une maladie grave.

Comme tous les physiciens compétents et en pleine possession de leur esprit, Carlo Rovelli dénonce dans son livre ces thèses du New Age.

Son interprétation permet de comprendre le véritable contenu des déclarations des idées avancées par Bohr et Heisenberg et il explique ainsi tout d'abord que : « Il ne faut pas confondre relatif et subjectif. Déjà en physique classique en raison du principe de relativité de Galilée on ne peut parler d'un mouvement que dans un référentiel précis pour un observateur et il est vide de sens de parler d'une vitesse absolue. Si vous êtes assis dans un train en mouvement, celui-ci est immobile par rapport à vous mais il est en mouvement par rapport à une personne restée à la gare. Ce n'est pas votre esprit qui crée le train et son mouvement.

En physique quantique c'est la même chose, nous ne pouvons parler et définir certains aspects de la réalité que selon la perspective d'un observateur et dans le contexte des expériences qu'il fait pour interagir avec les phénomènes qu'il observe. Nous ne pouvons en effet définir l'existence et les propriétés d'un objet qu'en entrant en interaction avec lui en échangeant de l'énergie pour acquérir de l'information et ce relativement à l'observateur, par exemple en mesurant une température ou en recevant de la lumière d'un objet en mouvement. Nous ne pouvons donc définir la réalité qu'à partir d'un réseau de relations, relations qui comme les vitesses n'auraient rien d'absolu.

En nous questionnant à la recherche d'une sorte de référentiel, de fondement absolu pour définir la nature de la réalité et les relations qui la tissent, nous sommes peut-être victimes de la même erreur que Newton qui postulait un espace et un temps absolus et nous nous posons peut-être à ce sujet des questions qui comme le proposait Wittgenstein n'ont peut-être pas plus de sens que de chercher à savoir si la couleur bleue est paire ou impaire ».


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