Robert Langlands en plein exposé. © Académie norvégienne des sciences et des lettres

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Mathématiques : le prix Abel 2018 décerné à Robert Langlands

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Un peu considéré comme l'équivalent du prix Nobel suédois mais qui serait en mathématique, le prix Abel norvégien 2018 a été attribué à Robert P. Langlands, un mathématicien canadien. Ses travaux ont renouvelé le lien ancien entre algèbre et arithmétique en connectant les travaux issus de Galois à ceux issus de Fourier en analyse harmonique, conjecturant une sorte d'unification profonde des mathématiques.

Le prix Abel a une longue histoire. Il aurait dû être décerné tous les cinq ans pour des travaux remarquables en mathématique pure et ce dès le début du XXe siècle. Le grand mathématicien Sophus Lie, dont les travaux sur la théorie des groupes se sont trouvé être fondamentaux pour la physique moderne, s'était beaucoup impliqué dans ce prix afin qu'il pallie à la curieuse absence d'un prix Nobel de mathématiques.

Il n'a cependant été décerné qu'à partir de 2003 (au mathématicien français et déjà lauréat de la médaille Fields, Jean-Pierre Serre) par l'Académie norvégienne des sciences et lettres au nom du ministère de l'Éducation et de la Recherche. Ce long retard s'explique par la séparation de la Suède et de la Norvège et surtout le décès de Lie.

Le nom d'Abel lui-même fait référence aux travaux de Niels Henrik Abel, un mathématicien norvégien mort de tuberculose alors qu'il n'avait pas 27 ans. Ce brillant jeune homme avait réalisé des travaux importants en théorie des fonctions elliptiques. Sa démonstration de l'impossibilité de résoudre par des racines les équations du cinquième degré inspira les travaux de Galois, le père de la théorie des groupes, mort lui aussi très jeune.

Cette année, le prix d'une valeur de 750.000 euros environ revient à Robert P. Langlands, un mathématicien canadien né en Colombie britannique, le 6 octobre 1936. Il est célèbre pour avoir proposé dans une lettre de 17 pages ce que certains considèrent, à l'instar du mathématicien d'origine russe Edward Frenkel, comme l'équivalent des théories de Grande unification de la physique des particules mais dans le domaine des mathématiques.

Une vidéo esquissant les idées et la signification du Programme de Langlands. Pour obtenir une traduction en français assez fidèle, cliquez sur le rectangle blanc en bas à droite. Les sous-titres en anglais devraient alors apparaître. Cliquez ensuite sur l'écrou à droite du rectangle, puis sur « Sous-titres » et enfin sur « Traduire automatiquement ». Choisissez « Français ». © Toronto Star

Baptisé Programme de Langlands, le contenu de cette lettre, une série de conjectures mathématiques, a été largement disséminé dans la communauté des mathématiciens à ce moment là par son destinataire. Il s'agissait d'un collègue de Langlands à l'université de Princeton, rien de moins que le légendaire André Weil, le frère de la non moins célèbre philosophe Simone Weil.

Co-fondateur du groupe Bourbaki et à l'origine de travaux d'Alexandre Grothendieck, Weil était une autorité et c'est pourquoi les conjectures de Langlands attirèrent l'attention. Elles ont depuis inspiré bien des chercheurs dont certains reçurent des médailles Fields, comme les Français Laurent Lafforgue et Ngô Bao Châu, et on les trouve même en relation avec la célèbre démonstration du théorème de Fermat par le Britannique Andrew Wiles, lui-même lauréat du prix Abel 2016.

Un pont entre algèbre, arithmétique et analyse harmonique

Mais c'est quoi en fait le Programme de Langlands ? Il est probablement impossible de commencer à le comprendre dans les grandes lignes sans au moins une licence de mathématiques. Mais nous pouvons sans cela en avoir une vague idée comme le montre la vidéo ci-dessus.

Le Programme de Langlands  conjecture l'existence de liens très profonds entre plusieurs domaines fondamentaux des mathématiques, à savoir l'algèbre et l'arithmétique via notamment les travaux sur la théorie de la résolution des équations algébriques prenant naissance dans les travaux sur les groupes de Galois d'un côté, mais aussi avec l'analyse harmonique de l'autre, ce qui est déjà moins évident.

L'analyse harmonique a été sur le devant de la scène il y a peu puisque l'on a fêté les 250 ans de son fondateur, le mathématicien français Joseph Fourier. En contribuant à fonder la physique mathématique du XIXe siècle avec sa théorie de la propagation de la chaleur, Fourier avait découvert au passage, avec les séries et les transformations qui portent son nom, des outils très puissants pour analyser les phénomènes ondulatoires, qu'il s'agisse d'ondes lumineuses, gravitationnelles, ou sonores. Aujourd'hui l'analyse harmonique de Fourier est largement utilisée aussi bien en astronomie qu'en physique quantique mais aussi avec l'IRM, les téléphones portables et les données compressées (MP3).

Dans le cas du Programme de Langlands, c'est une branche bien particulière de l'analyse harmonique qui intervient et qui est liée aux travaux fondateurs d'Henri Poincaré sur les équations différentielles, les fonctions (fuchsiennes) et les formes dites automorphes.

Pour les courageux un peu équipés qui voudraient explorer en simple visiteur le paysage esquissé par Langlands, il est possible de consulter le dossier que le CNRS avait consacré à son programme et que Futura avait repris : 

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Il sert de complément aux informations données en français sur le site du prix Abel :

Pour finir sur une note plus légère, voici un extrait d'une interview de Robert Langlands publiée en 2000 par le Centre de recherches mathématiques de l'université de Montréal qu'il visitait régulièrement. « Ce fut une surprise pour moi de faire des mathématiques ! Lorsque j'étais jeune, j'habitais un petit village et je travaillais avec mon père qui était menuisier-charpentier. J'ai essayé de faire ce métier, normalement j'aurais dû devenir moi aussi menuisier-charpentier, mais je n'étais pas doué ! Il fallait donc trouver autre chose. Et ce qui m'a amené aux mathématiques fut un pur hasard.

En fait, à l'école secondaire, j'étais un étudiant pas du tout sérieux ; je voulais être rebelle et ne rien faire. Mais comme j'avais sauté une année, j'étais plus jeune que mes camarades et donc pas assez âgé pour décrocher. Dans ma dernière année du secondaire, un de mes enseignants, M. Vogler, que je n'ai malheureusement pas réussi à retrouver lorsque bien plus tard j'ai voulu le remercier, a pris une heure de classe et le temps de tout le monde simplement pour me convaincre que je devrais continuer. Il me persuada. »

La suite fait désormais partie de l'Histoire...

  • Le prix Abel 2018, une sorte de prix Nobel de mathématiques, a été attribué à Robert P. Langlands, un mathématicien canadien âgé de 81 ans.
  • Il récompense l'influence qu'il a eu sur les mathématiques modernes via une série de conjectures à démontrer qu'il a exposées dans une lettre en 1967 au grand mathématicien français André Weil.
  • Le programme de Langlands, comme on l'appelle, conjecture des liens profonds entre les branches les plus fondamentales des mathématiques, la théorie des nombres et la théorie de la résolution des équations issue de la théorie des groupes de Galois, en les connectant avec une autre branche très importante des mathématiques, l'analyse harmonique issue des travaux de Fourier.
  • L'analyse harmonique est par ailleurs une des clés de la physique mathématique des ondes et du traitement des images et des sons.
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