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La loi de Planck

Dossier - Du corps noir aux trous noirs
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Corps noir et trous noirs, étonnamment, la relation entre les deux est aussi proche que le suggère leurs dénominations, et ce, d'une façon qu'aucun de ceux qui ont forgé ces dénominations ne pouvait le prévoir. Mais que recouvre donc ce mot énigmatique, le corps noir, et pourquoi occupe-t-il une position centrale dans la physique du siècle dernier et dans celle en train de naître de nos jours ? Tenter d'y répondre est l'objet de ce dossier.

  
DossiersDu corps noir aux trous noirs
 

Depuis ses tout premiers travaux en physique théorique, Max Planck s'était passionné pour la théorie de la chaleur et il avait été l'un des premiers à comprendre clairement le second principe de la thermodynamique. Ses professeurs n'étaient autres que Helmholtz et Kirchhoff, il était donc bien préparé pour s'attaquer au problème du rayonnement thermique.

Max Planck (23 avril 1858 - 4 octobre 1947)

Comme beaucoup de ses contemporains de la fin du XIX ième siècle, Planck ne croyait pas à la théorie atomique de la matière et il voyait dans la théorie cinétique des gaz de Maxwell-Boltzmann un simple artifice de calcul, certes efficace, mais absolument pas fondamental. Les atomes étaient des entités métaphysiques à tout jamais inobservables et seul le continu pouvait servir de base à la construction d'une représentation du monde, si ce n'est du monde lui-même.

Toutefois, il ne rejetait pas les méthodes de Boltzmann et était parfaitement capable de les comprendre et de les apprécier. Bien plus, il avait eu des échanges avec Boltzmann sur la théorie atomique et son utilisation pour dériver les lois de la thermodynamique et il avait pu bénéficier des conseils de celui-ci pour s'attaquer au problème du corps noir.

La solution qu'il trouva pour obtenir la véritable loi de répartition de l'énergie avec la fréquence pour le rayonnement thermique doit en fait beaucoup aux méthodes de Boltzmann et à sa mécanique statistique. Pour s'en convaincre, il suffit de savoir que lors d'une conversation en 1891, entre d'un côté Planck et Ostwald et de l'autre Boltzmann, celui-ci, refusant  de considérer que la thermodynamique sans l'hypothèse atomique était supérieure à la thermodynamique statistique, avait répondu "Je ne vois pas pourquoi l'énergie ne pourrait pas être elle aussi sous forme atomique".

Ludwig Boltzmann (1844-1906)

La formule de Planck

Le 19 octobre 1900, Max Planck  rendit public son article "Sur la théorie de la loi de la distribution d'énergie du spectre normal" dans lequel on peut trouver l'expression de la formule universelle du rayonnement thermique . Initialement, la formule de Planck n'était qu'une interpolation ingénieuse et physiquement contrôlée des formules de Rayleigh-Jeans et de Wien.

Très rapidement, Planck n'en resta pas là et c'est le 14 décembre 1900 qu'un nouvel article fit basculer la physique dans un nouveau monde.

A la recherche d'une interprétation théorique de sa formule, Planck s'était rendu compte que la division de l'espace des phases en petites cellules de volume fini, nécessaire comme intermédiaire de calcul dans la mécanique statistique de Boltzmann, introduisait naturellement des quanta d'énergie. Si l'on ne faisait pas tendre vers 0 le volume de ces cellules à la fin des calculs, cela conduisait simplement à une restriction des états d'énergies possibles des oscillateurs associés au rayonnement, conduisant alors à la dérivation de sa formule.

Si donc l'on admettait que les échanges d'énergie entre la matière et le rayonnement ne pouvaient se faire que par paquets d'énergie vérifiant la formule , il était possible de justifier théoriquement la formule d'interpolation qu'il avait introduite.

La formule de Planck s'écrivait alors sous la forme suivante:

Ce qui, si l'on préfère une distribution en longueur d'onde plus adaptée aux mesures en spectroscopie, donnera:

On peut vérifier que des développements limités à basse et haute fréquence redonnent bien les formules de Rayleigh-Jeans et de Wien.

Ainsi, il apparaissait une nouvelle constante universelle, h, que Planck interpréta comme un quantum d'action. En fait, une seconde constante fondamentale faisait aussi son entrée en physique même si elle avait toujours été là : la constante de Boltzmann kb que Planck fut le premier a clairement identifier et qu'il nomma ainsi en l'honneur de Boltzmann.

Comme on a vu que la formule du corps noir était une formule universelle ne dépendant pas de la nature précise du corps chauffé, elle doit nécessairement dépendre de constantes fondamentales de la physique. Planck avait fort bien compris que ces deux nouvelles constantes se devaient donc d'avoir un rôle très général et très profond en physique. Il remarqua même qu'en combinaison avec la vitesse de la lumière et la constante de la gravitation, il pouvait définir un système d'unités fondamentales pour les grandeurs physiques : les fameuses masse, longueur et temps de Planck.

mp = (

c/GN)1/2    lp = (GN/c3)1/2   tp = (GN/c5)1/2

Planck, dans sa conférence Nobel, relata certains des détails de sa démarche lorsqu'il fit sa découverte, ainsi que son contexte dans le développement de physique théorique. On connaît aussi de lui le texte suivant, à propos de ses tentatives pour comprendre la nature exacte de la mystérieuse constante qu'il avait introduite:

"J'essayais donc immédiatement de rattacher d'une manière quelconque le quantum élémentaire d'action au cadre de la théorie classique. Mais la constante se révélait encombrante et récalcitrante à chacun de mes essais.

L'échec de toutes mes tentatives pour sauter l'obstacle me rendit bientôt évident le rôle fondamental joué par le quantum élémentaire d'action dans la physique atomique, et que son apparition ouvrait une ère nouvelle dans les sciences de la nature.

Car elle annonçait l'avènement de quelque chose d'entièrement inattendu et elle était destinée à bouleverser les bases mêmes de la pensée physique, qui depuis la découverte du calcul infinitésimal s'appuyaient sur l'idée que toutes les relations causales sont continues.

Mes vaines tentatives pour ajuster le quantum élémentaire d'action d'une manière ou d'une autre au cadre de la physique classique se poursuivirent pendant un certain nombre d'années et elles me coûtèrent beaucoup d'efforts.

De nombreux collègues trouvèrent qu'il y avait là quelque chose qui frisait la tragédie. Mais je suis à cet égard d'une opinion différente...Car la lumière totale que j'éprouvais alors me fut vraiment un enrichissement sans égal. Je savais désormais en toute certitude que le quantum élémentaire d'action jouait dans la physique un rôle beaucoup plus important que je n'étais porté à le pressentir au début, et cette acquisition me fit clairement sentir la nécessité d'introduire des méthodes radicalement neuves de calcul et de raisonnement dans le traitement des problèmes atomiques."
  

Les lois de Planck et Rayleigh-Jean en longueur d'onde (Crédit : HyperPhysics (©C.R. Nave, 2006) ).