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La suite géométrique de raison Phi

Dossier - Le nombre d'or
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Ce nombre si extraordinaire qu'il a normalement suscité, depuis longtemps, des interprétations philosophiques et hautement symboliques jusqu'à être pris pour la conception de l'univers.

  
DossiersLe nombre d'or
 
Ammonite. © Ghedoghedo, CC BY-SA 4.0

La suite géométrique de Fibonacci peut également être « complète ». Et voici son explication - ludique bien sûr.

Nous avons établi graphiquement avec une ficelle et un triangle sublime les premiers éléments la suite géométrique de Fibonacci :

1  Φ  Φ Φ3... que l'on peut prolonger facilement : 1  Φ  Φ Φ3  Φ4  Φ5  Φ6  Φ7... êtes-vous d'accord ?

Amusez-vous à chercher graphiquement son prolongement, dans l'autre sens, à gauche de 1 avec la figure 1. 

De même pour MK mais plus simplement, en généralisant :

  • pour aller vers le plus grand, à droite, il faut multiplier par Φ (exemple Φ2 x Φ = Φ3 puis Φ3 x Φ = Φ4, etc.) ;
  • pour aller vers le plus petit, à gauche, il faut diviser par Φ (exemple Φ/Φ = 1  1/Φ = 1/Φ et (1/Φ)Φ = 1/Φ2 ou encore (1/Φ2)/Φ = 1/Φ3 et ainsi de suite).

D'où la suite complète 1/Φ4   1/Φ3   1/Φ2   1   Φ   Φ2   Φ3   Φ4   Φ5

Cette suite de Fibonacci est la plus simple qui puisse exister. C'est sans doute pour cette raison que nous la trouvons dans la nature, sur le fossile ci-dessous par exemple, mais aussi sur des fleurs, des légumes, des arbres et même sur nous !

Nota : ce nombre d'or est surprenant, avez-vous remarqué en regardant la figure 1 ci-dessus que :

  • si l'on ajoute 1 à Φ on obtient son carré (1+Φ = Φ2) ;
  • si l'on enlève 1 à Φ on obtient son inverse (Φ-1 = Φ/1).

C'est le seul nombre à réaliser cette prouesse ! Et si l'on considère les valeurs de Φ = 1,6180339... d'où Φ2 = 2,6180339... et 1Φ = 0,6180339... avec les mêmes chiffres (à l'infini) derrière la virgule, c'est encore plus remarquable.

Ce fossile présente une suite géométrique de Fibonacci. © DR

Regardez de près ce fossile ci-dessus, une ammonite de 20 centimètres qui a 100 millions d'années. Son enroulement génère une suite de Fibonacci, les arcs de cercle le prouvent, de plus elle est géométrique de raison Φ tout comme la coquille d'escargot de la page 2. N'est-ce pas étonnant ?

Pour terminer, nous allons nous amuser à passer à la loupe le cœur de gerbera présenté en page 2.